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全国高中青年数学教师优秀课比赛
《点到直线的距离》教案
四川省成都市第七中学数学组杜晓雯【课题】点到直线的距离
【教材】全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）
人民教育出版社
【授课教师】杜晓雯一．教学目标
1．教材分析
⑴教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），"§7．3两条直线的位置关系"的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
⑵地位与作用
本节对"点到直线的距离"的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对"点到直线的距离"的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
2．学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．
3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．
⑴知识技能
①理解点到直线的距离公式的推导过程；
②掌握点到直线的距离公式；
③掌握点到直线的距离公式的应用．
⑵数学思考
①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；
②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；
③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．
⑶解决问题
①通过问题获得数学知识，经历"发现问题-提出问题-解决问题"的过程；
②由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．
⑷情感态度
结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．
二．教学重点、难点
1．教学重点
⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；
⑵点到直线的距离公式的应用．
2．教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．
三．教学过程
教学
环节活动
说明
创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素--"点到直线的距离"，引发学习好奇心和研究兴趣．
现实模型：
①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离
（图片欣赏）
②生活实例
（flash动画演示）模型
直观 回顾旧知：在初中，"点到直线的距离"的定义是什么？
1．点到直线的距离公式的推导过程
（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）
问题1如何求点到直线的距离？
教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？
方法① 利用三角函数
解：过点作的垂线，垂足为
教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题．但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性．
方法② 利用定义
解：过点作的垂线，设垂足为方法③ 利用函数的思想
解：设直线上的点，则
，
当时，取得等号，即点
教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题．
强调：⑴点在直线上，故满足直线方程；
⑵当等号成立时，指明此时点的坐标，并与方法②得到的点的坐标进行比较．
方法④ 利用直角三角形的面积公式
教师：由于，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？
教师：应该如何构造三角形呢？
如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式．
解：过点作的垂线，交点为点问题2如何求点到直线的距离？
（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．）
（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解．）
方法① 利用三角函数方法② 利用函数的思想
设点在直线上，则
当时，取得等号，即点．
方法③ 利用定义
过点作的垂线，设垂足为方法④ 利用直角三角形的面积公式
过点作、轴的垂线，交点为点、
问题3如何求点到直线的距离（）？
教师：你能否类比问题1、2解决本问？
教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？
教师：对于的特殊情况，你可以怎样处理？
方法①利用定义的算法思路
方法②利用直角三角形的面积公式的算法思路
教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？
教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材的证明方法．
方法③利用平面向量的算法思路
教师：直线的斜率是什么？
教师：若向量，你能表达的一个坐标吗？
教师：设点是直线上任意一点，则的坐标是多少？
教师：设的夹角为，则为多少？
教师：结合图象，你能否表示出？2．点到直线的距离公式
点到直线的距离（其中）
教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2？并比较计算结果．
3．点到直线的距离公式的应用
例1求点到下列直线的距离：
⑴⑵
⑶⑷
分析：⑴
可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数．
⑵
教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论．
⑶
部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立．
⑷
在补充的问题⑷中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数，从而达到强调公式运用前提的目的．
教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．
例2⑴已知点到直线的距离为，求的值；
⑵已知点到直线的距离为，求的值．
教师：如何求实数的值？
解：⑴⑵
教师：这两问直线方程中参数的几何意义是什么？
教师：两个小问的几何意义是什么？
（教师利用几何画板进行数学实验）
例3求平行线和
的距离．
教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？
教师：如何求这两条平行直线间的距离？
教师：可以选择哪个点？
解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离．因此
教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？推广到一般结论：
例４ 求证：两平行直线
的距离为
证明：设点是直线上任一点，则点到直线的距离为两平行直线的距离公式：
的距离为
教师：两平行线的距离公式不要求记忆．
在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理．
课堂练习求下列两条平行线的距离：
⑴
⑵
⑶
学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离．
点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
问题1
学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算．
方法①利用三角函数
学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决．
方法②利用定义
（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）
学生：利用定义解决问题．
方法③利用函数的思想
（在前面复习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题．）
学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题．
学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时点的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比．
方法④利用直角三角形的面积公式
学生：三角形面积公式．
学生：过点作的垂线，构造．
对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整．问题2
方法①利用三角函数方法②利用函数的思想
方法③利用定义
方法④利用直角三角形的面积公式问题3
学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些．
方法①利用定义的算法
学生分析解题思路，整理出算法框图．
学生的回答可能会忽略
这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在，主要取决于分母是否为0，这也是对前面知识的巩固．
学生：对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论．
方法②利用直角三角形的面积公式的算法
学生：先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算．
方法③利用平面向量的算法学生：
学生容易忽略的限制条件，教师给予纠正．
学生：
对于法向量的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一．教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解．
学生：
学生：当时，以上公式仍然成立．
学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调应该加上绝对值符号．
师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解
⑴从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线上一点的连线的最短距离；
⑵使用点到直线的距离公式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程．如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式；
⑶若点在直线上，则点到直线的距离为零，距离公式仍然成立；
⑷若直线方程中系数的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离．
师生共同讨论
例1解：⑴根据点到直线的距离公式，得
⑵解法①因直线平行于轴，所以
解法②根据点到直线的距离公式，得
⑶另解：根据点到直线的距离公式，得
⑷
根据点到直线的距离公式，例2由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程．
学生：
⑴中表示直线的斜率；
⑵中表示直线在轴上的截距．
学生：这两个小问的几何意义分别是
⑴点到两条直线的距离相等，所以点在两条直线所成角的角平分线上；
⑵所得的两条直线互相平行且距离为2．例3
学生：两条平行直线间的距离处处相等；
学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；
学生：选择点．
学生：可以选择一般的点．
解：设直线上一点
例4师生共同总结：
⑴应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形式，使对应系数化为相等（两直线平行），再代人公式计算；
⑵两平行线间的距离可转化为其中一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离．课堂练习
学生独立完成
解：⑴
⑵
⑶学生容易解错：
请其他同学分析错误原因．
在复习旧知的基础上引人新课．
由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1．
方法③利用了类比化归的思想，为后面将两平行直线间的距离，转化为点到直线的距离奠定基础．
强调数形结合的思想改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2．类比问题1，让学生独立思考问题2的不同法．课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法①，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程．
对于方法②，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力．
补充的方法③，建立在学生已有的平面向量知识的基础上．
课堂上只要求学生理清算法思路，而对于这种方法的具体解决过程，可作为课后思考作业．
补充的方法③为今后在立体几何中，利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔．
前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．
例1中⑶、⑷两个问题是补充的内容，目的是强化点到直线的距离公式的应用前提条件．例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件．在此基础上，由浅入深，补充的例2中直线方程含有参数，进一步提高思维难度．
在例2中，由于直线方程中的参数都具有明显的几何意义，所以在解出参数的值后，要引导学生思考其几何意义．
补充的例题2既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课研究对称问题和直线系问题设下伏笔．
由例2⑵的几何意义可以引出教材的例题3．
例3采用了类比化归的思想方法，同时引出例4．例4教材中是以习题的形式出现的．
（教材）补充的课堂练习⑶的目的是，强调运用公式的前提条件．
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．
课后作业
⑴利用向量的方法证明点到直线的距离公式；
⑵教材13、14、16
（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法．）
学生归纳总结
本课主要学习了以下内容：
⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法；
⑵点到直线的距离公式：
点到直线（其中）的距离
说明：对于的特殊情况时公式仍然适用．
⑶应用点到直线的距离公式的前提条件．板书设计：
设计说明：
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；
2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；
3．由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；
4．现代数学认为"几何是可视逻辑"，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；
5．学生在练习中的"错误体验"将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．