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导数常见题型与解题方法总结

导数常见题型与解题方法总结 本文关键词:导数,解题,题型,常见,方法

导数常见题型与解题方法总结 本文简介:导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在一、基础题型:

导数常见题型与解题方法总结 本文内容:

导数题型总结

1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元

3、根分布

4、判别式法-----结合图像分析

5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

(2)端点处和顶点是最值所在

一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立

此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:

第一步:令得到两个根;

第二步:画两图或列表;

第三步:由图表可知;

第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)。

例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,

(1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;

(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.

解:由函数

(1)

在区间上为“凸函数”,

在区间[0,3]上恒成立

解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于

解法二:分离变量法:

当时,恒成立,当时,恒成立

等价于的最大值()恒成立,

而()是增函数,则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时

恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

-2

2

例2:设函数

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围.

解:(Ⅰ)

3a

a

a

3a

令得的单调递增区间为(a,3a)

令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)

∴当x=a时,极小值=

当x=3a时,极大值=b.

(Ⅱ)由||≤a,得:对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数

的对称轴

(放缩法)

即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

上是增函数.

(9分)

于是,对任意,不等式①恒成立,等价于

又∴

点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

例3:已知函数图象上一点处的切线斜率为,

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)当时,求的值域;

(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。

解:(Ⅰ)∴,

解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减

∴的值域是

(Ⅲ)令

思路1:要使恒成立,只需,即分离变量

思路2:二次函数区间最值

二、参数问题

1、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1:转化为在给定区间上恒成立,

回归基础题型

解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集

例4:已知,函数.

(Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围.

解:.

(Ⅰ)∵

是偶函数,∴

.

此时,,

令,解得:.

列表如下:

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+∞)

+

0

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知:的极大值为,

的极小值为.

(Ⅱ)∵函数是上的单调函数,

∴,在给定区间R上恒成立判别式法

解得:.

综上,的取值范围是.

例5、已知函数

(I)求的单调区间;

(II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想

解:(I)

1、

当且仅当时取“=”号,单调递增。

2、

a-1

-1

单调增区间:

单调增区间:

(II)当

则是上述增区间的子集:

1、时,单调递增

符合题意

2、,

综上,a的取值范围是[0,1]。

2、题型二:根的个数问题

题1

函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点,即方程根的个数问题

解题步骤

第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步:解不等式(组)即可。

例6、已知函数,,且在区间上为增函数.

(1)

求实数的取值范围;

(2)

若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.

解:(1)由题意

∵在区间上为增函数,

∴在区间上恒成立(分离变量法)

即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为

(2)设,

令得或由(1)知,

①当时,,在R上递增,显然不合题意…

②当时,,随的变化情况如下表:

极大值

极小值

由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即

∴,解得

综上,所求的取值范围为

根的个数知道,部分根可求或已知。

例7、已知函数

(1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;

(2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网解:(1)∵的图像过原点,则

又∵是的极值点,则

-1

(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,

等价于有含的三个根,即:

整理得:

即:恒有含的三个不等实根

有含的根,

则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,

十字相乘法分解:

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2

切线的条数问题,即以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.

(1)由题意得:

∴在上;在上;在上

因此在处取得极小值

∴①,②,③

由①②③联立得:,∴

(2)设切点Q,

令,

求得:,方程有三个根。

需:

故:;因此所求实数的范围为:

题3

已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法:根分布或判别式法

例8、

解:函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f

(x)=

x3-x2+10x,

=x2-7x+10,令

解得或.

解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为.

(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,1

要使函数y=f

(x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)

根分布问题:

则,

解得m>3

例9、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.

解:(1)

当时,令解得,令解得,

所以的递增区间为,递减区间为.

当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.

(2)有且仅有3个极值点

=0有3个根,则或,

方程有两个非零实根,所以

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题:

1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11.

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.

解:(Ⅰ)

令=0,得

因为,所以可得下表:

0

+

0

-

极大

因此必为最大值,∴因此,

即,∴,∴

(Ⅱ)∵,∴等价于,

令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,

为此只需,即,

解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].

2、(根分布与线性规划例子)

已知函数

(Ⅰ)

若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

(Ⅱ)

当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

解:

(Ⅰ).

由,函数在时有极值,∴

又∵

在处的切线与直线平行,∴

…………………….

7分

(Ⅱ)

解法一:

及在取得极大值且在取得极小值,∴

令,则

故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴

所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,由

得点F的横坐标为:

得点G的横坐标为:

解得:

(舍去)

故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:

.…………….………….12分

(Ⅱ)

解法二:

及在取得极大值且在取得极小值,∴

令,则

故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,由

得直线L与AC交点为:

∵,,∴

所求直线方程为:

3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f

(

x

)的解析式;

(Ⅲ)若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。

解:由题知:

(Ⅰ)由图可知函数f

(

x

)的图像过点(

0,3

),且=

0

(Ⅱ)依题意=

3

且f

(

2

)

=

5

解得a

=

1,b

=

6

所以f

(

x

)

=

x3

6x2

+

9x

+

3

(Ⅲ)依题意f

(

x

)

=

ax3

+

bx2

(

3a

+

2b

)x

+

3

(

a>0

)

=

3ax2

+

2bx

3a

2b

由=

0b

=

9a

若方程f

(

x

)

=

8a有三个不同的根,当且仅当

满足f

(

5

)<8a<f

(

1

)

由①

25a

+

3<8a<7a

+

3<a<3

所以

当<a<3时,方程f

(

x

)

=

8a有三个不同的根。…………

12分

4、(根的个数问题)已知函数

(1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间;

(2)若,讨论曲线与的交点个数.

解:(1)

………………………………………………………………………2分

令得

令得

∴的单调递增区间为,,单调递减区间为…………5分

(2)由题得

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时,,,有一个交点;…………………………9分

当即时,

—,∴当即时,有一个交点;

当即时,有两个交点;

当时,,有一个交点.………………………13分

综上可知,当或时,有一个交点;

当时,有两个交点.…………………………………14分

5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数.

(Ⅰ)

若函数在处有极值,求的解析式;

(Ⅱ)

若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围.

(1)∵f′(x)=

3/a2

?x2,

∴由

3/a2

?x2=3得x=±a,

即切点坐标为(a,a),(-a,-a)

∴切线方程为y-a=3(x-a),或y+a=3(x+a)(2分)

整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0

解得a=±1,

∴f(x)=x3.

∴g(x)=x3-3bx+3(4分)

∵g′(x)=3x2-3b,g(x)在x=1处有极值,

∴g′(1)=0,

即3×12-3b=0,解得b=1

∴g(x)=x3-3x+3(6分)

(2)∵函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,

∴g′(x)=3x2-3b≥0在区间[-1,1]上恒成立,

∴b≤0,

又∵b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立,

∴b2-mb+4≥g(1)(8分)

即b2-mb+4≥4-3b,若b=0,则不等式显然成立,若b≠0,

则m≥b+3在b∈(-∞,0)上恒成立

∴m≥3.

故m的取值范围是[3,+∞)

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