变革中的足球 - 欧洲国家联赛
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2018年世界杯已经过去很久了，关于国家队足球的讨论话题也逐渐淡出了人们的视野（先不考虑国足这个略显鸡肋的话题）。事实上，除了2018年世界杯（以及世界杯广泛实施的VAR）之外，世界足坛还有一个重要的变化并没有引起舆论的广泛关注——就在开赛前几天世界杯结束后，国际足联正式宣布将彻底改变1999年以来沿用的世界排名机制，发布新的世界排名算法。为什么国际足联要改变一个已经使用了十九年的排名系统？国际足坛的世界排名是怎么得来的？本文就此话题进行具体探讨。
对于本文的相关知识，本文有一些背景科普式的介绍。有兴趣的读者可以看看“动态排行榜”栏目的内容。不看没关系，本文将对文中的一些概念进行说明。
有趣的运动 - 排名的科学
介绍
在说国际足联国际排名之前，我们首先要说说这个东西在大众眼中是什么样子的？
毋庸置疑，在（中国）公众眼中，国际足联排名最重要的用途就是批评中国男足。至少我看过的笑话包括：
① XX的表现和中国队的排名一样稳定（差）/中国男足的回归从来没有让人失望过/中国男足买彩票就可以买房。
②中国男足的排名至少高于中国人均GDP和人均收入。
③ 中国男足的排名是世界政治变化的反映。当苏联/南斯拉夫解体为N个国家时，中国队的排名下降了N个名次。
我为什么讨厌这种“尴尬”的笑话，因为编这种笑话的人根本不懂足球世界的机制。他们创作的唯一目的就是为了迎合群众对中国男足的反感。对我自己来说只是交通不便而已。
不过，这也确实反映出一个问题：国际足联的排名在人们心目中过于“权威”。这份FIFA榜单的影响力甚至达到了与世界人均GDP排名同等的地位，以至于大众对FIFA排名没有意见。书中为数不多的几个人物给人以高深莫测的认识，甚至是“神秘”（全世界都一样）。另一个被神秘地解开和展开的体育界谜团是奥运金牌榜。关于这个问题，请参考以下文章：
【看奥运】金牌榜的背后
印度作为世界第二人口大国，为何在奥运方面如此落后？
本文的意义在于以2018年6月国际足联排名改革为契机，介绍和分析国际足联排名的性质、历史和不足，尤其希望打破大众对这一排名的诸多误解。
国际足联排名的诞生
在本段开头，我要声明一下，上面的③段纯属胡说八道——因为FIFA排名诞生于1993年，而那个时候苏联和南斯拉夫已经解体。只有东帝汶、南苏丹、黑山和科索沃在1993年以政治独立为由加入国际足联，而且只有黑山队的排名高于中国队。
为什么国际足联要在1993年创造世界排名？简单的答案是——为下届世界杯小组抽签做种子。那么之前的世界杯小组抽签不是需要种子吗？答案是肯定的。当时世界杯的种子是怎么确定的？答案由国际足联自己决定。
事实上，在20世纪90年代之前，体育的国际化还很不成熟。即便是世界杯级别的赛事，在30年前也只是一个小圈子的内部交流会。一直以来，世界杯都没有实行根据球队实力预划“种子”的概念（其实“种子”的概念也是从网球中借用的）。1978年以前，世界杯分组抽签的原则是根据球队所在的地理位置。比如1966年，抽签是按照“欧洲1、欧洲2、南美、世界其他国家”组织的。“世界其他地区”在世界杯上没有用（亚洲和非洲加起来一个名额），实际上有两支欧洲球队分到了第四锅。
这段非种子抽签历史的直观结果是，在1970年世界杯上，上届冠军英格兰和本届冠军巴西，按照今天的计算，也是世界排名前两名的球队，而他们居然被分到了小组赛同组！同组的还有当时世界至少6强的捷克斯洛伐克。直到1978年，国际足联才在世界杯抽签中引入最强球队回避，这就是简单的种子概念。1982年世界杯扩军至24支球队后，当时的6个种子名额完全由国际足联内部决定，主要是根据历届赛事的成绩确定。然而，这种不透明的机制很快就受到了质疑。1990年世界杯，荷兰队，正值三剑客时代，如火如荼的1988年欧洲杯，却因为未能晋级82、86正赛而无缘种子。德意志联邦共和国的冠军让范巴斯滕等英雄在世界杯上失败了。
1990年代，国际足联终于意识到应该建立实时的国家队排名系统，为世界杯小组抽签提供有说服力的依据。同时，1990年代也是足球世界扩张进程的开始。足球开始大规模进入亚洲、非洲、中北美、大洋洲等此前的“次大陆”。国际足联也希望能为足球新势力提供有效进球。. 1992年12月，国际足联试行第一阶段世界排名；1993年8月，国际足联世界排名正式开始每月更新一次，并一直延续至今。
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排名的演变
不久前，在一个名为“中国男足是否在倒退？”的问题中，有人挖出了国际足联网站上的历史排名榜，说明中国男足确实一直在倒退。看看这张图片，尤其是图片的左半部分。但很显然，2001年晋级十强是中国队历史上的最高峰。为什么中国队比90年代中期弱了？
答案是，因为1990年代最早的国际足联排名参考价值不大。1998年12月之前，国际足联排名的计算方式是：胜3平1负0，只考虑了一个浮动的时间窗口，也就是说，在过去的n年里，这支球队赢/平了多少场比赛。这自然会导致很多球队的积分相同，而积分的多少纯粹是看一支球队打了多少场比赛。
90年代初期至中期，亚洲国家没有外援，联赛也相当简单，这使得亚洲国家之间的友谊赛在当时非常流行。中国队之所以“惧怕韩国”，重要的原因在于，当时中韩几乎每年都要进行一场友谊赛，而中国队真的被韩国玩了。1998年底，中国队飙升至第37位，创历史新高。主要原因是从1996年到1998年，中国队平均每年要打15场国际A级比赛，其中包括当时算作友谊赛的亚运会足球（1999年排名跃升。下降的原因也是没有世界杯预赛，要组织国奥，这导致国家队全年没有参加一项 A 级赛事）。国际比赛窗口制度实施后，一支国家队一年最多可以自由安排10场比赛。而且当时由于世界杯预选安排过于简单，世界排名末尾有大量的“僵尸”球队根本没打几场比赛，所以当时的排名靠前确实水很多。
1999年，国际足联首次对世界排名算法进行大修，引入了一直沿用到2018年6月的计算框架。1999年算法的基础仍然是310分机制，但每3分或1分，5分必须考虑的其他因素：对手排名、主客场比赛、净胜球、比赛权重和地区实力。比赛权重是指友谊赛、预选赛、洲际杯、世界杯等不同级别赛事之间的差异。区域强度一般按洲划分，通常欧洲和南美洲权重较高，其他洲权重较低. 同时，99年机制还要考虑长达八年的浮动窗口。每年总分减1、7/8、6/8……
2006年，国际足联简化了99年的算法，将浮动窗口从8年减少到4年，以更好地反映球队近期的变化。同时，主客场和净胜球的因素也被取消。一场比赛只考虑胜负、对手名次、赛事权重和地区实力。这个算法最终被稳步实施，逐渐成为从世界杯到洲际杯的分组抽签标准（只有欧足联自己的欧洲杯不使用国际足联排名）。
排名困境
至此，我们再思考一下一个问题——建立一个世界各国的总排名有什么难点？
最大的问题是比赛样本太少，比赛样本太“偏”。国家队足球的基本组织秩序取决于国际足联旗下的六大洲足协，最重要的A级赛事几乎只来自于各大洲内的洲际杯和世界杯预选赛。不同大洲国家队的数据来源只有四个：世界杯比赛、世界杯洲际预选赛、联合会杯和友谊赛。其中，前三名的样本非常有限，全部只能反映一个大陆最强的队伍。友谊赛本身权重很低，效果也不一定好。
比如在亚洲内部，日本队在数据上比越南队好是没有争议的，但是在欧洲，日本队和罗马尼亚队相比如何呢？越南队与非洲马达加斯加队相比如何？前者综合了日本和亚洲顶级球队在世界杯和联合会杯上的成绩，可以说大致处于同一水平（但实际上日本队的排名早就低于很多欧洲球队了）中下游国家）。但越南与马达加斯加相比如何？更重要的是，像日本队这样领先的洲际强队屈指可数，而这些处于世界各国国家队中下游的“悬而未决”的球队才是主流。没有比较的依据。
把当时各国的实际比分做成图表就可以清楚地看出旧FIFA排名的问题（如下图）。大众熟知的排名自然是从1到200呈线性分布，但实际计算出来的积分，在前60和60之后的区间差距巨大，前60几乎是呈指数级增长，而60之后就变成线性了。. 比如在2006年到2016年中国足球的低谷期，中国队的排名经常像过山车一样上下起伏。原因是在中国队（70-90）的实力区间内，非洲、中美洲和北美的中游国家不少。,
导致旧排名算法如此不公平的一个重要因素是算法中的“区域强度”指标。老算法直接人为定义：对欧洲和南美的对手，比对亚洲、非洲、中北美、大洋洲的对手得分更多。但是，由于欧洲和南美国家的国际比赛日程基本被洲际杯和世界杯预选赛占据，这个定义实际上变成了：欧洲和南美国家的国内比赛比其他大洲更“值得”，即使它是卢森堡、列支敦士登等国家。不同大洲之间的交流相对困难，很多时候只能靠友谊赛，”
失控
2000年代后期，当中国国家队陷入历史最黑暗的低谷，国际足联排名基本沦为编造故事的工具时，国际足联排名本身的问题开始暴露。
世界体育媒体首先注意到的是一些国家的排名异常高。比如2006年，美国队一跃成为世界第4。出名了，连国内的媒体都不敢相信。但显然当时有人注意到了——国际足联的排名是可以被操纵的。
到了2010年代，操纵FIFA排名基本上已经不是什么秘密国足排名世界第1，尤其是实力处于欧洲和南美洲中部的国家，幸好得益于“区域实力”的便利，靠着赛程占尽先机排行榜，这一招的操作方法几乎可以白纸黑字地写出来——数学博弈论大师已经成为比场上选手更有用的人才。后来的结果是：在比赛中成绩平平的瑞士队，早已跻身世界前十。只崛起了两三年、2014年世界杯才打进八强的比利时，却在2015年诡异登顶世界之巅，无缘几项大赛。罗马尼亚“算”了一个世界杯预选赛小组种子，
为什么当时可以操纵排名？简单地说，因为友谊赛和平均水平。当时有人发现，国际足联每次排名的计算其实都是12个月内所有积分的平均值，每次都会剔除四年前同期的一组数据。那么，如果你在本场比赛中获得的积分过少——比如友谊赛赢了弱队，你的平均积分反而会下降，也就是赢了就要吃亏！但是，如果打一场友谊赛，无论输赢都有可能吃亏，但如果什么都不做，效果就是bug——你一年内的“平均分”会大幅上升。这样一来，排名上的漏洞基本都被归结为一句话——友谊赛少了。对于欧洲的中游球队来说，每年有 10 场国际比赛的空间，其中只有一半需要资格赛。博弈论专家的作用是计算在剩下的5场左右比赛的空间里，打多少场友谊赛，打谁更有利可图。当然，他们之所以能做到这一点，还有一个原因，那就是很多不“投机”的球队，老老实实打友谊赛，却钻了空子。
2014 年世界杯上灾难性的小组抽签加剧了排名问题。2010年之前，在确定世界杯小组赛种子时，仍需考虑球队在过去两届世界杯小组赛中的表现。2006年世界杯抽签，荷兰队（又是荷兰队）状态非常好，因为2002年没有出战，无缘目前的种子队，排名世界前三。葡萄牙刷牌了，整个事情还是比较惨烈的。于是在随后的南非世界杯上，国际足联决定将小组抽签改为只看正赛前一年10月的世界排名（不包括11月的洲际附加赛）。
不幸的是，2010 年代落入了博弈论专家的手中。2013年10月公布的世界排名榜单可谓“盲目”。最终选出的世界杯种子队是东道主巴西、西班牙、德国和阿根廷。——到此为止很正常——然后，哥伦比亚、比利时、乌拉圭、瑞士……也就是上届亚军荷兰，2012年欧洲杯亚军意大利都不是种子！哥伦比亚和比利时的账面实力尚可，但哥伦比亚在1998年之后的三届世界杯都没有进球，比利时在2002年世界杯之后就没有进过任何世界杯和欧洲杯，短短两年时间，两人从一个世界前八的无名之辈。更荒唐的是乌拉圭和瑞士。乌拉圭在没有巴西的情况下在南美预赛中获得第五名。一直没有结果的瑞士，更是莫名其妙。问题是国际足联当时选了八个种子，但还是把剩下的球队分到了大洲，而且因为欧洲名额过剩，他们从欧洲区占了很大的优势（意大利）到其他名额。最终，乌拉圭、意大利、英格兰同组，西班牙、荷兰、智利同组，哥伦比亚、比利时、瑞士占据优势。他们从欧洲区到其他时段占据了很大的优势（意大利）。最终，乌拉圭、意大利、英格兰同组，西班牙、荷兰、智利同组，哥伦比亚、比利时、瑞士占据优势。他们从欧洲区到其他时段占据了很大的优势（意大利）。最终，乌拉圭、意大利、英格兰同组，西班牙、荷兰、智利同组，哥伦比亚、比利时、瑞士占据优势。
到了2018年世界杯，波兰队故技重施，在2017年10月获得世界第6名，成功为正赛定下种子。这一次，FIFA排名的漏洞终于被全世界看到了——包括FIFA Own。当然，在此之前，也有人猜测排名漏洞是国际足联故意制造的——毕竟国际足联的总部在瑞士，而瑞士在国际足联的排名中占有很大的优势（瑞士几乎挤掉了最后一名）抽签俄罗斯世界杯冠军法国队在小组中）。但在2017年底，国际足联最终决定重新审视目前的排名机制，并很快决定在2018年世界杯后实施新的算法。
旧算法的另一个缺陷：由于大型赛事东道主没有预选赛可打，他们的比赛权重至少在两年内会很低，与四年前没有东道主时相比，他们的积分将大幅下降。2014年，世界杯东道主巴西队连续三年缺席南美区预选赛，结果空前排名第22位。2018年，东道主俄罗斯并不是一支强队。在举办过世界杯之后，它使自己跻身第 60 位。尽管2018年正赛表现不错，但俄罗斯也勉强升至第40位。
评分
说到这里，你应该问：世界足坛排名这个高度孤立、样本量小的问题，有没有数学解法，至少可以防止被利用？至少，我们要解决旧排名算法最荒唐的三个问题：区域系数歧视、输赢、坑大赛主办方。
答案是肯定的。对于动态排名，目前公认的排名方法是匈牙利数学家Arpad Elo在1970年发明的Elo积分算法。你可能没有听说过Elo算法，但是如果你玩任何竞技游戏，你肯定要处理Elo算法，因为它是竞技游戏中最常见的对手匹配和排名机制，它保证了你的游戏可以匹配到和你实力接近的对手，你也知道你的实力在全世界玩家中处于什么水平.
Elo积分的机制在这篇文章-The Science of Ranking（“Grading System”部分）中有详细介绍，其原理简单归纳为三点：
所有参与排名的玩家实力服从统计分布；对于每个参赛者来说，他们实际得到的分数是他们比赛的实际结果与根据统计得到的“预期结果”之间的差值。上述差值可正可负，即参赛者可得分，也可被扣分。
根据Elo积分，所有排名者的分数会形成一个相对线性的趋势（或其他趋势，由样本量决定），也就是上图FIFA新排名系统画出的形状。在这条线上，每一个分数阶段自然就构成了一个明确的班级，这就是所谓的“爬梯子”的意思。
Elo积分最直接的作用就是：如果你不打一场比赛，你的积分根本不会动——如果你已经有高分，即使你退役，你在“天梯”上的荣誉也会被夺走。不要走开。这直接解决了以往主机的积分计算坑问题。
Elo积分的另一个特点是不需要固定时间。比如足球，理论上可以从历史上第一场国际足球比赛开始算起。但是它的整体时效还是可以保证的：我们可以调整参数，让几年前的游戏对现在的影响不大。而这是一个从根本上打击排名炒作者的制度——旧排名的漏洞很大程度是因为过去四年的固定时间段。
Elo积分最推崇的是它的“用实力说话”的原则：强队虐弱队——双方都得不到积分，强队没有意义，弱队不吃亏；弱队爆冷强队，弱队得分大涨，强队得分受挫；而要“爬”上天梯，最实用的操作就是稳稳打败你的同级别对手——无论来自哪个大陆。
新系统
2018年世界杯之前，国际足联公布了新的排名算法。不出所料，这个新算法完全采用了 Elo 机制。具体算法可以看这里：FIFA世界排名
2018年世界杯后的第一个新世界排名被推迟到8月份，终于姗姗来迟。在新的排名中，世界杯冠军法国队如愿登顶，但仅仅一个月后，就被三年前登顶的比利时反超。15年来，比利时几乎没有可靠的结果。当时，世界第一被批评为“钻空子”。然而，在2018年世界杯上，它击败了巴西，获得了第三名。这个超越多少有点说服力。
新的世界排名也出现了一些新的变化：下半年德国队的厄运从榜首跌至第16位，重现2003-2005年的低谷；一轮四连败后，A级球队也被打出原形，排名下滑近15位；世界杯前钻空子攀升至世界前七的波兰队，如今已跌至第20位。
从目前已经出炉的排名来看，以往第一期40名以外球队的排名往往会变化到几十位。奇观），中国队的位置依然在客观的第76位附近。
国际足联世界排名的历史，大概就是这样一段奇怪而荒谬的历史，但至少现在是走上了正轨。让我们回到一开始提出的问题——公平地说，中国队应该从世界排名中学到什么？
正如 Elo 积分系统本身所设想的那样：
稳扎稳打，赢了和自己同级别的人，排名自然会上升；挑战强大的对手，既不会吃亏国足排名世界第1，也会获得宝贵的经验；
你运气好，钻了空子，博得了一时的荣幸。如果你没有足够的力量，你仍然会被快速打回原形；
最重要的是，如果你输给了实力不如你的人，后果会直接直接写在排行榜上，让你丢人现眼。
——所以，态度决定一切，这不愧是匈牙利数学家阿帕德·埃洛的至理名言。这也是我们应该从国际足联世界排名中吸取教训的道理，尽管是恶作剧。