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2015年湖北三角形中考数学题分类解析
一、选择题
1.(2019湖北荆门3分)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，
∴△ABC的三边之比为。
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项错误;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项正确;
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误;
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误.
故选B。
2.(2019湖北荆门3分)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为【】
A.2B.2C.D.3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
3.(2019湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC.若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【】
A.2B.3C.D.
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC(SAS)。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
4.(2019湖北宜昌3分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【】
A.24米B.20米C.16米D.12米
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°。
把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D。
5.(2019湖北荆州3分)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】
A.B.C.D.
6.(2019湖北荆州3分)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为【】
A.2B.2C.D.3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
7.(2019湖北孝感3分)如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30º，从C点向塔底
B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB的高为【】
A.50mB.100mC.mD.m
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形，由BC=AB和BC=AB+100求解即可求出答案：
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。
∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。故选D。
8.(2019湖北孝感3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，BD平分∠ABC交AC于点D.若
AC=2，则AD的长是【】
A.B.C.D.
【答案】C。
【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC。∴。
设BD=x，则BC=x，CD=2-x，∴，整理得：x2+2x-4=0，解得：。
∵x为正数，∴。故选C。
9.(2019湖北襄阳3分)在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【】
A.(4+1.6)mB.(12+1.6)mC.(4+1.6)mD.4m
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，作AK⊥CD于点K，
∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°。
∵，∴。
∴CD=CK+DK=4+1.6=(4+1.6)(米)。故选A。
二、填空题
1.(2019湖北武汉3分)tan60°=▲.
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】直接根据特殊角的三角函数值得出结果：tan60°=。
2.(2019湖北武汉3分)在平面直角坐标系中，点A
的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点
C是第一象限内一点，且AC=2.设tan∠BOC=m，则m的取值范围是▲.
【答案】。
【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。
【分析】如图，设C点坐标为()。
∵tan∠BOC=m，∴，即。
∵A的坐标为(3，0)，∴DA=。
又∵AC=2.∴由勾股定理，得，
即，整理得
由得。
∵tan∠BOC=m>0，∴。
3.(2019湖北荆门3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 ▲ cm2.(结果可保留根号)
【答案】+360。
【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm2。
又∵密封纸盒的底面面积为：cm2，
∴其全面积为：(+360)cm2。
4.(2019湖北咸宁3分)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便
残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，
则AC的长度是▲cm.
【答案】210。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5。
∴CD=5BD=5×54=270(cm)。
∴AC=CD-AD=270-60=210(cm)。∴AC的长度是210cm。
5.(2019湖北荆州3分)如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE= ▲ .
【答案】。
【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。
【分析】连接PB、PE.
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。
∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。
∵A(2，0)，B(1，2)，∴AE=1，BE=2。∴。
∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=。
6.(2019湖北黄冈3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂
足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为▲.
【答案】36°。
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE。
∵∠A=36°，∴∠ABE=∠A=36°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=。∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°。
7.(2019湖北随州4分)如图,点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5,BC=8;则AB的长为▲.
【答案】10。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，通过两三角形的相似比可求出AB的长：
在△ABC和△AED中，∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∴△AED∽△ABC。
∴ABAE=BCED。
又∵DE=4，AE=5，BC=8，∴AB=10。
8.(2019湖北十堰3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2.
【答案】。
【考点】含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】连接OD，OF。
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=AB=6cm，∠BAC=60°。
∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE。∴△ACE是等边三角形。
∴∠ECA=60°。
又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形。∴∠DOA=60°。∴∠COD=120°。
同理，∠COF=60°。∴∠DOA=∠COE=60°。∴，AD=CF。
∴与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等。
∴。
∵AC是直径，∴∠CDA=90°。
又∵∠BAC=60°，AC=6cm，∴。
又∵△OCD中CD边上的高=,
∴.
又∵，∴。
9.(2019湖北孝感3分)计算：cos245º+tan30º•sin60º=▲.
【答案】1。
【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。
【分析】。
10.(2019湖北襄阳3分)在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ▲ .
【答案】4或或。
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：
(1)如图，当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4。
(2)如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。
(3)如图，当AC=BC时，则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。
综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。
三、解答题
1.(2019湖北武汉6分)如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB.
【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴&a
ng;DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。∴∠DCE=∠ACB。
∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB(SAS)。∴DE=AB。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。
2.(2019湖北武汉10分)已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6.
(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长;
(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点
的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明);
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需
证明).
【答案】解：(1)①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，
则△AMN∽△ABC，
∵M为AB中点，∴MN是△ABC的中位线。
∵BC=6，∴MN=3。
②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N，
则△AMN∽△ACB，∴。
∵BC=6，AC=，AM=，∴，解得MN=。
综上所述，线段MN的长为3或。
(2)①如图所示：
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
【考点】网格问题，作图(相似变换)，三角形中位线定理，相似三角形的性质。
【分析】(1)作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长;作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长。
(2)①A1B1=为直角三角形斜边的两直角边长为2，4，A1C1=为直角三角形斜边的两直角边长为4，8。以此，先作B1C1=6，画出△A1B1C1。
②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
3.(2019湖北黄石8分)如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太
阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，
公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，
并已知，。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高(结果精
确到1cm)。
【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则，且。
在Rt△ADF中：，在Rt△EAF中,，
∴。
又∵，，，
∴。
∴。
答：支架CD的高约为119cm。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。
4.(2019湖北黄石9分)如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线
B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
(1)请你探究：，是否成立?
(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问一定成立
吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8,，E为AB上一点且AE=5，CE交其内
角角平分线AD与F.试求的值.
【答案】解：(1)∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴根据三线合一，得CD=DB。
∴。
过点D作DN⊥AB于点H。
∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴C1D=ND。
∵等边△ABC中，B1C1⊥AC，∴∠B1=300。
∴。
∴，都成立。
(2)结论仍然成立。证明如下：
如图，ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于点G。
∵∠G=∠CAD=∠BAD，∴BG=AB。
又ΔGBD∽ΔACD，
∴，即。
∴对任意三角形结论仍然成立。
﹙3﹚如图，连接ED。
∵AD为ΔABC的内角角平分线，AC=8,，
∴由(2)得，。
又∵AE=5，∴EB=AB-AE=。∴。
∴。∴DE∥AC。∴ΔDEF∽ΔACF。
∴。
5.(2019湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分)如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?(参考数据：)
【答案】解：作BD⊥AC于点D.设BD=x海里，则
在Rt△ABD中，，∴AD=。
在Rt△CBD中，，∴CD=x。
∴AC=AD﹣CD=。
∵AC=30×=15，∴=15，解得x≈21.4。
∵21.4海里>15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。
6.(2019湖北恩施8分)新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.
2019年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去.(见图1)
解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵AB=，∠B=60°，
∴AD=AB•sin60°=。
在Rt△ADC中，AD=，∠C=45°，
∴AC=AD=140。
∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间
为=7小时。
答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可。
7.(2019湖北黄冈8分)新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的
斑马线，斑马线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅
游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE=15°和∠FAD=30°.司机
距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B四点在平行于斑马
线的同一直线上.)
(参考数据：tan15°=2-，sin15°=cos15°=≈1.732，≈1.414)
【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。
∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。
设AB=x，则在Rt△AEB中，。
∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD=-4。
在Rt△ADB中，，
∴，即，解得x=2。
∴。
∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD=-0.8≈2×1.732+0.8≈2.7>2，故符合标准。
答：该旅游车停车符合规定的安全标准。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中，，在Rt△ADB中，，联立两式即可求出CD的值。
19.8.(2019湖北随州8分)如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
求证：(1)ΔABD≌ΔACD;(2)BE=CE
【答案】证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，
∴△ABC≌△ACD(SSS)。
(2)由(1)知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。
在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)。∴BE=CE(全等三角形的对应边相等)。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。
(2)由(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE;根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE;由全等三角形的对应边相等知BE=CE。
9.(2019湖北十堰6分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.
【答案】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)。
∴∠B=∠D。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。
10.(2019湖北十堰8分)如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度.(参考数据：≈1.73)
【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50。
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。
则AF=AB-BF=AB-DE=x-50，DF=BE=BC+CE=x+50。
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=，∴。
∴(米)。
答：山AB的高度约为236.5米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长
度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED中，
利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值。
11.(2019湖北襄阳5分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.
求证：AM=AN.
【答案】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。
∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。
又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB(ASA)。∴AM=AN。
【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。
12.(2019湖北鄂州8分)小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。
【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H。
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE•tan∠E=8tan60°=8。
∵EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。
在Rt△FDH中，FH=DF=4，
HD==4•=12。
又∵∠AF=90°，∠C=45°，∴HB=FH=4。
∴BD=HD-HB=12-4。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】构造直角三角形FDH，分别解Rt△DEF和Rt△FDH即可。
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2015年湖北三角形中考数学题分类解析
一、选择题
1.(2019湖北荆门3分)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，
∴△ABC的三边之比为。
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项错误;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项正确;
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误;
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误.
故选B。
2.(2019湖北荆门3分)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为【】
A.2B.2C.D.3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
3.(2019湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC.若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【】
A.2B.3C.D.
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC(SAS)。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
4.(2019湖北宜昌3分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【】
A.24米B.20米C.16米D.12米
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°。
把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D。
5.(2019湖北荆州3分)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】
A.B.C.D.
6.(2019湖北荆州3分)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为【】
A.2B.2C.D.3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
7.(2019湖北孝感3分)如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30º，从C点向塔底
B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB的高为【】
A.50mB.100mC.mD.m
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形，由BC=AB和BC=AB+100求解即可求出答案：
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。
∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。故选D。
8.(2019湖北孝感3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，BD平分∠ABC交AC于点D.若
AC=2，则AD的长是【】
A.B.C.D.
【答案】C。
【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC。∴。
设BD=x，则BC=x，CD=2-x，∴，整理得：x2+2x-4=0，解得：。
∵x为正数，∴。故选C。
9.(2019湖北襄阳3分)在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【】
A.(4+1.6)mB.(12+1.6)mC.(4+1.6)mD.4m
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，作AK⊥CD于点K，
∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°。
∵，∴。
∴CD=CK+DK=4+1.6=(4+1.6)(米)。故选A。
二、填空题
1.(2019湖北武汉3分)tan60°=▲.
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】直接根据特殊角的三角函数值得出结果：tan60°=。
2.(2019湖北武汉3分)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点
C是第一象限内一点，且AC=2.设tan∠BOC=m，则m的取值范围是▲.
【答案】。
【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。
【分析】如图，设C点坐标为()。
∵tan∠BOC=m，∴，即。
∵A的坐标为(3，0)，∴DA=。
又∵AC=2.∴由勾股定理，得，
即，整理得
由得。
∵tan∠BOC=m>0，∴。
3.(2019湖北荆门3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 ▲ cm2.(结果可保留根号)
【答案】+360。
【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm2。
又∵密封纸盒的底面面积为：cm2，
∴其全面积为：(+360)cm2。
4.(2019湖北咸宁3分)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便
残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，
则AC的长度是▲cm.
【答案】210。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5。
∴CD=5BD=5×54=270(cm)。
∴AC=CD-AD=270-60=210(cm)。∴AC的长度是210cm。
5.(2019湖北荆州3分)如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE= ▲ .
【答案】。
【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。
【分析】连接PB、PE.
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。
∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。
∵A(2，0)，B(1，2)，∴AE=1，BE=2。∴。
∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=。
6.(2019湖北黄冈3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂
足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为▲.
【答案】36°。
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE。
∵∠A=36°，∴∠ABE=∠A=36°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=。∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°。
7.(2019湖北随州4分)如图,点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5,BC=8;则AB的长为▲.
【答案】10。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，通过两三角形的相似比可求出AB的长：
在△ABC和△AED中，∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∴△AED∽△ABC。
∴ABAE=BCED。
又∵DE=4，AE=5，BC=8，∴AB=10。
8.(2019湖北十堰3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2.
【答案】。
【考点】含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】连接OD，OF。
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=AB=6cm，∠BAC=60°。
∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE。∴△ACE是等边三角形。
∴∠ECA=60°。
又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形。∴∠DOA=60°。∴∠COD=120°。
同理，∠COF=60°。∴∠DOA=∠COE=60°。∴，AD=CF。
∴与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等。
∴。
∵AC是直径，∴∠CDA=90°。
又∵∠BAC=60°，AC=6cm，∴。
又∵△OCD中CD边上的高=,
∴.
又∵，∴。
9.(2019湖北孝感3分)计算：cos245º+tan30º•sin60º=▲.
【答案】1。
【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。
【分析】。
10.(2019湖北襄阳3分)在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ▲ .
【答案】4或或。
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：
(1)如图，当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4。
(2)如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=
30°。
∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。
(3)如图，当AC=BC时，则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。
综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。
三、解答题
1.(2019湖北武汉6分)如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB.
【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。∴∠DCE=∠ACB。
∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB(SAS)。∴DE=AB。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。
2.(2019湖北武汉10分)已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6.
(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长;
(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点
的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明);
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需
证明).
【答案】解：(1)①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，
则△AMN∽△ABC，
∵M为AB中点，∴MN是△ABC的中位线。
∵BC=6，∴MN=3。
②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N，
则△AMN∽△ACB，∴。
∵BC=6，AC=，AM=，∴，解得MN=。
综上所述，线段MN的长为3或。
(2)①如图所示：
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
【考点】网格问题，作图(相似变换)，三角形中位线定理，相似三角形的性质。
【分析】(1)作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长;作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长。
(2)①A1B1=为直角三角形斜边的两直角边长为2，4，A1C1=为直角三角形斜边的两直角边长为4，8。以此，先作B1C1=6，画出△A1B1C1。
②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
3.(2019湖北黄石8分)如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太
阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，
公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，
并已知，。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高(结果精
确到1cm)。
【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则，且。
在Rt△ADF中：，在Rt△EAF中,，
∴。
又∵，，，
∴。
∴。
答：支架CD的高约为119cm。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。
4.(2019湖北黄石9分)如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线
B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
(1)请你探究：，是否成立?
(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问一定成立
吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8,，E为AB上一点且AE=5，CE交其内
角角平分线AD与F.试求的值.
【答案】解：(1)∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴根据三线合一，得CD=DB。
∴。
过点D作DN⊥AB于点H。
∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴C1D=ND。
∵等边△ABC中，B1C1⊥AC，∴∠B1=300。
∴。
∴，都成立。
(2)结论仍然成立。证明如下：
如图，ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于点G。
∵∠G=∠CAD=∠BAD，∴BG=AB。
又ΔGBD∽ΔACD，
∴，即。
∴对任意三角形结论仍然成立。
﹙3﹚如图，连接ED。
∵AD为ΔABC的内角角平分线，AC=8,，
∴由(2)得，。
又∵AE=5，∴EB=AB-AE=。∴。
∴。∴DE∥AC。∴ΔDEF∽ΔACF。
∴。
5.(2019湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分)如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?(参考数据：)
【答案】解：作BD⊥AC于点D.设BD=x海里，则
在Rt△ABD中，，∴AD=。
在Rt△CBD中，，∴CD=x。
∴AC=AD﹣CD=。
∵AC=30×=15，∴=15，解得x≈21.4。
∵21.4海里>15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。
6.(2019湖北恩施8分)新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.
2019年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去.(见图1)
解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310&
rdquo;船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵AB=，∠B=60°，
∴AD=AB•sin60°=。
在Rt△ADC中，AD=，∠C=45°，
∴AC=AD=140。
∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为=7小时。
答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可。
7.(2019湖北黄冈8分)新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的
斑马线，斑马线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅
游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE=15°和∠FAD=30°.司机
距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B四点在平行于斑马
线的同一直线上.)
(参考数据：tan15°=2-，sin15°=cos15°=≈1.732，≈1.414)
【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。
∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。
设AB=x，则在Rt△AEB中，。
∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD=-4。
在Rt△ADB中，，
∴，即，解得x=2。
∴。
∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD=-0.8≈2×1.732+0.8≈2.7>2，故符合标准。
答：该旅游车停车符合规定的安全标准。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中，，在Rt△ADB中，，联立两式即可求出CD的值。
19.8.(2019湖北随州8分)如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
求证：(1)ΔABD≌ΔACD;(2)BE=CE
【答案】证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，
∴△ABC≌△ACD(SSS)。
(2)由(1)知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。
在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)。∴BE=CE(全等三角形的对应边相等)。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。
(2)由(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE;根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE;由全等三角形的对应边相等知BE=CE。
9.(2019湖北十堰6分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.
【答案】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)。
∴∠B=∠D。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。
10.(2019湖北十堰8分)如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度.(参考数据：≈1.73)
【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50。
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。
则AF=AB-BF=AB-DE=x-50，DF=BE=BC+CE=x+50。
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=，∴。
∴(米)。
答：山AB的高度约为236.5米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长
度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED中，
利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值。
11.(2019湖北襄阳5分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.
求证：AM=AN.
【答案】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。
∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。
又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB(ASA)。∴AM=AN。
【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。
12.
(2019湖北鄂州8分)小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。
【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H。
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE•tan∠E=8tan60°=8。
∵EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。
在Rt△FDH中，FH=DF=4，HD==4•=12。
又∵∠AF=90°，∠C=45°，∴HB=FH=4。
∴BD=HD-HB=12-4。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】构造直角三角形FDH，分别解Rt△DEF和Rt△FDH即可。
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