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主题： 关于“中学教育”中“竞赛题”的参考范文。
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TOCo"1-9"hzuHYPERLINKl"_Toc256000000"目录 1
HYPERLINKl"_Toc256000001"正文 3
HYPERLINKl"_Toc256000002"??==12 6
HYPERLINKl"_Toc256000003"1463+= 7
HYPERLINKl"_Toc256000004"二元一次方程的整数解 7
HYPERLINKl"_Toc256000005"?==15 10
HYPERLINKl"_Toc256000006"3x+5y=38（x，y都是正整数） 10
HYPERLINKl"_Toc256000007"37051kk得解集是37 11
HYPERLINKl"_Toc256000008"?==71 11
HYPERLINKl"_Toc256000009"?==111 11
HYPERLINKl"_Toc256000010"二元一次方程组解的讨论 12
HYPERLINKl"_Toc256000011"1．二元一次方程组???=+=+222 12
HYPERLINKl"_Toc256000012"313 14
HYPERLINKl"_Toc256000013"--=828 14
HYPERLINKl"_Toc256000014"1．不解方程组，判定下列方程组解的情况： 15
HYPERLINKl"_Toc256000015"243 16
HYPERLINKl"_Toc256000016"4．要使方程组? 16
HYPERLINKl"_Toc256000017"1(62ΛΛxx解的集合就是 17
HYPERLINKl"_Toc256000018"?=-=+7 20
HYPERLINKl"_Toc256000019"1．负数集合与分数集合的交集是＿ 20
HYPERLINKl"_Toc256000020"合计共27个 24
HYPERLINKl"_Toc256000021"3．xyz=6，写出所有的正整数解有： 24
HYPERLINKl"_Toc256000022"2)1 27
HYPERLINKl"_Toc256000023"52222个＝（＿＿＿）2；；321Λ1 29
HYPERLINKl"_Toc256000024"21111n个－43421Λ2 29
HYPERLINKl"_Toc256000025"2222n个＝（＿＿）2 29
HYPERLINKl"_Toc256000026"95655＝（＿＿＿＿）2；43 30
HYPERLINKl"_Toc256000027"421Λ321Λn位 30
HYPERLINKl"_Toc256000028"191 30
HYPERLINKl"_Toc256000029"5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。 38
HYPERLINKl"_Toc256000030"29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， 39
HYPERLINKl"_Toc256000031"7．已知正整数n不是4的倍数 42
HYPERLINKl"_Toc256000032"9对任意两个整数，它们的和、差、积中 42
HYPERLINKl"_Toc256000033"21Λ位 42
HYPERLINKl"_Toc256000034"一、选择题： 42
HYPERLINKl"_Toc256000035"三四五 44
HYPERLINKl"_Toc256000036"则有一组 44
HYPERLINKl"_Toc256000037"三、解答题 47
HYPERLINKl"_Toc256000038"练习9 47
HYPERLINKl"_Toc256000039"3123+-+ 48
HYPERLINKl"_Toc256000040"-=-=2 48
HYPERLINKl"_Toc256000041"练习10 48
HYPERLINKl"_Toc256000042"??==04 48
HYPERLINKl"_Toc256000043"?==2 49
HYPERLINKl"_Toc256000044"19乙＝甲＝ 50
HYPERLINKl"_Toc256000045"练习11 50
HYPERLINKl"_Toc256000046"??7815 50
HYPERLINKl"_Toc256000047"?=-=4 51
HYPERLINKl"_Toc256000048"练习13 51
HYPERLINKl"_Toc256000049"练习14 52
HYPERLINKl"_Toc256000050"3433 53
HYPERLINKl"_Toc256000051"12111?＝111－121(220) 53
HYPERLINKl"_Toc256000052"练习15 53
HYPERLINKl"_Toc256000053"1．根据不等式性质，选B． 54
HYPERLINKl"_Toc256000054"3．如图3－271，连ED，则 54
HYPERLINKl"_Toc256000055"4．由条件得 55
HYPERLINKl"_Toc256000056"二、填空题 56
HYPERLINKl"_Toc256000057"9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5． 56
HYPERLINKl"_Toc256000058"511-= 57
HYPERLINKl"_Toc256000059"3．2 57
HYPERLINKl"_Toc256000060"5．3 58
HYPERLINKl"_Toc256000061"162222=???(个) 58
HYPERLINKl"_Toc256000062"8．39 58
HYPERLINKl"_Toc256000063"100 59
HYPERLINKl"_Toc256000064" 427128平方厘米== 59
HYPERLINK l "_Toc256000065" 12、 59
HYPERLINK l "_Toc256000066" 三、解答题 60
正文
初中数学竞赛辅导资料及参考答案
一元一次方程解的讨论
1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解
也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0， |x|=6， 0x=0， 0x=2的解 分别是： x=－3， x=0或x=1， x=±6， 所有的数，无解。 2，关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，
讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=a
当a=0且b ≠0时，无解；
当a=0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3， 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？
解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a
，∴只要a 与4同号，
即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。 例2 k 取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？
②（1－x ）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k ＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k －6，
当k ≠0时x=k k 6-=1－k
只要k 能整除6， 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数 当 k=1，2，3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x －2)=b(x+1)－2a 无解。问a 和b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a －b)x=b
∵方程无解，∴a －b=0且b ≠0 ∴a 和b 应满足的关系是a=b ≠0。
例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a+（2x －3）b=8x －7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b －8）x=2a+3b －7， 根据 0x ＝0时，方程有无数多解，可知
b a b a 时，原方程有无数多解。
解这个方程组得?
b a
答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
1， 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0初中数学辅导网， ②x 2=9， ③|x|=9， ④|x|=－3， ⑤3x+1=3x －1， ⑥x+2=2+x
2，关于x 的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3，在方程a(a －3)x=a 中，
当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；
当a ＿＿＿＿＿时，有无数多解； 当a ＿＿＿＿时，解是负数。 4，k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？
① x=k
②x=16-k ③x=k k 32+ ④x=123+-k k
5，k 取什么值时，方程x －k=6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？
6，m 取什么值时，方程3（m+x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？
7，己知方程2
1463+=
+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 8，m 取什么整数值时，方程m m x 3
1)13(-=-的解是整数?
9，己知方程ax x b 2
1)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
二元一次方程的整数解
1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，
若a，b 的最大公约数能整除c，则方程有整数解。即 如果（a，b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解
显然a，b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1， 5x-2y=7， 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a，b ）中的a物业经理人，b 实为它们的绝对值。 2，二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=5111y -=y y
y y--=-- (1) ，
设k k y
(5
1=-是整数），则y=1-5k (2) ， 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是???-=-=k y k x 512
11（k 是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c 有整数解???==00y y x x 则通解是???-=+=ak y y bk
x x 00（x 0，y 0可用观察法）
3，求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x，y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
例1求方程5x －9y=18整数解的能通解
解x=y y y y y -+
+=-++=+ 设k y =-5
3（k 为整数）
，y=3－5k， 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是???-=-=k y k
x 5399 （k 为整数）
又解：当x=o 时，y=－2，
∴方程有一个整数解???-==20
y x 它的通解是???--=-=k y y x 5290（k 为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=y
y y --=-(1)
设k y
=5
(k 为整数)，则y=5k，(2)
把（2）代入（1）得x=20-6k ，
∵???>>00y x 解不等式组???>>-050620k k
得0＜k
20
，k 的整数解是1，2，3， ∴正整数解是???==514y x ???==108y x ?
?==15
y x 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得
3x+5y=38 （x，y 都是正整数）
∵x ＝1时，y=7，∴???==71
y x 是一个整数解
∴通解是?
??-=+=k y k
x 3751（k 为整数）
37051k k 得解集是37
51
把k=0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解?
?==71
?==111
y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
1，求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4， 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1， 11x+3y=4
2， 求方程的正整数解：①5x+7y=87， ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。 5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x ＋2y=11， ②10x-5y=70， ③9x+3y=111，
④18x-9y=98， ⑤91x-13y=169， ⑥120x+121y=324。
6， 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
二元一次方程组解的讨论
1．二元一次方程组???=+=+222
11c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：
① 当
2121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当
2121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当
21b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ?
b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含
待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
例1. 选择一组a，c 值使方程组?
??=+=+c y ax y x 275
① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10， c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10， c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组???=+=+3135y x a
y x 的解是正数？
解：把a 作为已知数，解这个方程组
解不等式组得?
313
31
44
2y x my x 的解x 和y 都是整数？
解：把m 作为已知数，解方程组得?
-=
--=828
81m y m x
∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x， y， z 粒，依题意得
?=++=++)2()1(100z y x z y x ΛΛ 由（1）得x= 100－y －z (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z －7
z 设
k z
=7
(k 为整数) 得z=7k， y=－200+20k， x=300－27k ∵x，y，z 都是正整数∴?
??>>+->-k k k 解得?
∴10＜k
11， ∵k 是整数，∴k=11
即x=3（桃）初中数学辅导网， y=20（李）， z=77（榄橄） (答略)
1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：
① ???=-=-96332y x y x ②???=-=-3
243
2y x y x ③???=-=+153153y x y x
2．a 取什么值时方程组?????+-=--+=+
a a y x a a y x 的解是正数？
3．a 取哪些正整数值，方程组???=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？
4．要使方程组?
??=-=+12y x k
ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？
5．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡
翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？ 用交集解题
1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数
集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。 3．几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合， 例如不等式组?
2(2)
1(62ΛΛx x 解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x>3。
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个
位数的集合是｛1，3，7，9｝
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，
只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A 、B 两种都订的人数集合）。 ∴只订A 种刊物的人数是28－6＝22只订B 刊物的人数是21－6＝15小组总人数是22＋15＋6＋1＝44设N ，N （A ），N （B ），N （AB ），N 分别表示总人数，订A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N ＝N + N （A ）+N （B ）－N （AB ）
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒
乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一，得［公式二］： N ＝N + N （A ）+N （B ）+N(C)－N （AB ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15②求N （BC ）可用公式二：
∵40＝24＋18＋10－6－4－N （BC ）＋1
∴N （BC ）＝3， ③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数8719xy 能被33解：∵0≤x ，y ≤9， ∴0≤x+y ≤18， －9≤x －y ≤9，x+y>x －y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2，5，8，11，14，17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x －y=－4，7
∵x+y 和x －y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
?-=-=+414
y x y x ?
?=-=+711
y x y x ?
?=-=+7
17
y x y x 解得???==62y x
y x ?
y x （x=12不合题意舍去）答：x=2，y=6或x=5，y=9或x=9，y=2
1．负数集合与分数集合的交集是＿
2．等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3．12的正约数集合A ＝｛ ｝，30的正约数集合B ＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C ＝｛ ｝，集合C 是集合A 和集合B 的＿＿ 4．解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
21
31
x x ④???-0202x x
5．某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
6．九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数
字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 7．求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位
上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8．据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9．100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和B 进行表决，赞成A 的有52票，赞
成B 的有60票，其中A 、B 都赞成的有36人，问对A 、B 都不赞成的有几人？
10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11. 053=+-+-+y x y x
12. 十进制中，六位数2851xy 能被21整除，求x，y 的值（仿例5）、、 用枚举法解题
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；