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数列经典题型总结

数列经典题型总结 本文关键词:数列,题型,经典

数列经典题型总结 本文简介:6一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.(1)求数列的等差数列.(2)令求数列的前项和.练习:设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.二、错位相减法例2(07高考天津理21)在数列中,,其中

数列经典题型总结 本文内容:

6

一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和

例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.

(1)求数列的等差数列.

(2)令求数列的前项和.

练习:设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.

二、错位相减法

例2(07高考天津理21)在数列中,,其中.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前项和;

例3(07高考全国Ⅱ文21)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,

(Ⅰ)求,的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前n项和.

三、逆序相加法

例4(07豫南五市二联理22.)设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且点P的横坐标为.

(I)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;

(II)若

四、裂项求和法

例5

求数列的前n项和.

例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;

五、分组求和法

例7数列{an}的前n项和,数列{bn}满

.

(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。

例8求()

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.

例9

求之和.

解:由于

(找通项及特征)

(分组求和)

例10

已知数列{an}:的值.

解:∵

(找通项及特征)

(设制分组)

(裂项)

(分组、裂项求和)

类型1

解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列满足,,求。

解:由条件知:

分别令,代入上式得个等式累加之,即

所以

类型2

解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列满足,,求。

解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即

又,

例:已知,

,求。

类型3

(其中p,q均为常数,)。

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列中,,,求.

解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且

.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.

变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.

类型4

(其中p,q均为常数,)。

(,其中p,q,r均为常数)

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。

例:已知数列中,,,求。

解:在两边乘以得:

令,则,解之得:所以

类型5递推公式为与的关系式。(或)

解法:这种类型一般利用与

消去

或与消去

进行求解。

例:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公

式.

解:(1)由得:于是

所以.

(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))

的方法,上式两边同乘以得:由

.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以

类型6

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令

,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例:设数列:,求.

解:设,将代入递推式,得

…(1)则,又,故

代入(1)得

说明:(1)若为的二次式,则可设

;(2)本题也可由,()两式相减得转化为

求之.

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