博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
2025年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则?U（A?
B）＝（）
A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}
C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．?
【答案】A
【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，
∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，
∴?U（A?B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．
故选：A．
2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】C
【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，
所以2a+（1﹣a2）i＝2，
即，解得a＝1．
故选：C．
3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（）
古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼
A．21B．34C．55D．89
【答案】B
【解答】解：根据程序框图列表如下：
A13821
B251334
n1234
故输出的B＝34．
故选：B．
4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos﹣，﹣＝（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，
所以＝++2?，
即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，
解得cos＜，＞＝0，
以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》
所以⊥，
又﹣＝2+，﹣＝+2，
所以（﹣）?（﹣）＝（2+）?（+2）＝2+2+5?＝2+2+0＝4，
|﹣|＝|﹣|＝＝＝，
所以cos﹣，﹣＝＝＝．
故选：D．
5．（5分）已知正项等比数列{a}中，a＝1，S为{a}前n项和，S＝5S﹣4，则S＝（）
n1nn534
A．7B．9C．15D．30
【答案】C
【解答】解：等比数列{a}中，设公比为q，
a＝1，S为{a}前n项和，S＝5S﹣4，显然q≠1，
1nn53
（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），
可得＝5?﹣4，
解得q＝4，即q＝2，
S＝＝＝15．
故选：C．
6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐
部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
【答案】A
【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为
事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，
则P（A）＝＝，
由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由
乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》
50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，
则P（B|A）＝＝＝0.8．
故选：A．
7．（5分）“sin22
α+sinβ＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
22
【解答】解：sinα+sinβ＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，
22
所以“sinα+sinβ＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，
故选：B．
8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆
22
（x﹣2）+（y﹣3）＝1交于A，B两点，则|AB|＝（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得c＝a，所以b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，
22
一条渐近线与圆（x﹣2）+（y﹣3）＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，
圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，
所以|AB|＝2＝．
故选：D．
9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参
加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）
操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
A．120B．60C．40D．30
【答案】B
【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，
然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有
＝12种选法，
根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．
故选：B．
10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）
与的交点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：把函数向
左平移个单位可得
函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，
而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，
且直线还经过点（，）、
（﹣，﹣），
0＜＜1，
﹣1＜﹣＜0，如图，
故y＝f（x）与的交点个数为3．
故选：C．
饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》
11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝
45°，则PBC的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，
∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，
又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，
∴在PBD中，根据余弦定理可得：
＝，
又BC＝4，PC＝3，∴在PBC中，由余弦定理可得：
cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，
∴PBC的面积为＝＝．
解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，
天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》
设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），
则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，
易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，
则根据最小角定理（三余弦定理）可得：
∴或，
∴或，
∴或，
∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），
∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，
∴，∴cosθ＝，
再根据最小角定理可得：
cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，
∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，
∴PBC的面积为＝＝．
故选：C．
12．（5分）已知椭圆＝1，F，F为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠
12
不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》
FPF＝，则|PO|＝（）
12
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，
O为原点，P为椭圆上一点，，
设|PF|＝m，|PF|＝n，不妨m＞n，
12
22+n2PF2+n22+n2
可得m+n＝6，4c＝m﹣2mncos∠F12，即12＝m﹣mn，可得mn＝，m
＝21，
＝（），
可得|PO|＝
22
＝（m+n+2mncos∠FPF）
12
22
＝（m+n+mn）
＝（21+）＝．
可得|PO|＝．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若y＝（x﹣1）+ax+sin（x+）为偶函数，则a＝2．
【答案】2．
2+ax+sin（x+）＝x2
【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）﹣2x+ax+1+cosx，
其定义域为R，
若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），
变形可得（a﹣2）x＝0，必有a＝2．
故答案为：2．
臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥
14．（5分）设x，y满足约束条件，设z＝3x+2y，则z的最大值为15．
【答案】15．
【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图中阴
影部分所示，
目标函数z＝3x+2y，可化为直线y＝，
由，可得，
即A（3，3），
当直线y＝过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
代入可得z＝3×3+2×3＝15．
max
故答案为：15．
15．（5分）在正方体ABCD﹣ABCD中，E，F分别为CD，AB的中点，则以EF为直
111111
径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
【答案】12．
【解答】解：在正方体ABCD﹣ABCD中，E，F分别为CD，AB的中点，
111111
设正方体ABCD﹣ABCD中棱长为2，EF中点为O，
1111
取AB，BB中点G，M，侧面BBCC的中心为N，
111
连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，
为天地立心，为生民立命2026全国甲卷数学，为往圣继绝学2026全国甲卷数学，为万世开太平。——张载
由题意得O为球心，在正方体ABCD﹣ABCD中，EF＝＝，
1111
∴R＝，
则球心O到BB的距离为OM＝＝，
∴球O与棱BB相切，球面与棱BB只有一个交点，
11
同理，根据正方体ABCD﹣ABCD的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
1111
∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
16．（5分）在ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC
的平分线，则AD＝2．
【答案】2．
【解答】解：如图，∵在ABC中，AB＝2，，
∴由正弦定理可得，
∴sin∠ACB＝＝＝，又∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，∴∠ADB＝75°，
∴AD＝AB＝2．
故答案为：2．
臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）已知数列{a}中，an2＝1，设S为{ann}前n项和，2Sn＝na．n
（1）求{a}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T．
【答案】（1）{a}的通项公式为a＝n﹣1；
（2）T＝2﹣．
【解答】解：（1）当n＝1时，2S＝a，解得a＝0，
111
当n≥2时，2S＝（n﹣1）a，
n﹣1n﹣1
∴2a＝na﹣（n﹣1）a，∴（n﹣1）a＝（n﹣2）a，
nnn﹣1n﹣1n
当n≥3时，可得＝，
∴a＝×××?××a＝n﹣1，
n2
当n＝2或n＝1时，a＝0，a＝1适合上式，
12
∴{a}的通项公式为a＝n﹣1；
（2）由（1）可得＝，
∴T＝+++?+，∴T＝+++?+，
∴T＝+++?+﹣＝﹣＝1﹣﹣，
∴T＝2﹣．
太上有立德钓鱼网，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》
18．（12分）在三棱柱ABC﹣ABC中，AA＝2，AC⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A到
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