2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习
-------^次方程（组）及其应用学生版
知识清单梳理
知识点一等式的性质
1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果
仍是等式.即如果a=b,那么?±c=.
2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为。的数），
所得结果仍是等式.即如果那么=bc,-C=
（cWO）.
知识点二一元一次方程
3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有个未知
数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是,
这样的方程叫作一元一次方程.
4.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）
移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.
知识点三二元一次方程（组）
5.二元一次方程：含有个未知数贝语网校，并且所含未知数的项
的次数都是的方程叫作二元一次方程.
6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组
方程叫作二元一次方程组.
7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作
二元一次方程组的解.
8.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未
知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数,
化二元一次方程组为一元一次方程.
（2）加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数.
知识点四一次方程（组）的实际应用
9.一般解题步骤：审、设、歹［）、解、验、答.
10.常见类型及关系
（1）利润问题：售价=标价又折扣；销售额=x销量；
利润=__________—成本；利润率=普*100%.
成本
（2）行程问题
①相遇问题：全路程=甲走的路程乙走的路程.
②追及问题
a.同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程.
b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离追者走
的路程.
（3）工程问题：工作量=工作效率X.
高频考点过关
考点一一元一次方程的解法
1.（2024商河二模）若％=—5是关于X的方程a—3%=16的解，则
a的值是（）
A.1B.-1C.-5D.-31
2.关于%的方程3%—2根=1的解为正数，则根的取值范围是（）
11
A.m--
22
11
C.m>-D.m
22
3.关于工的一元一次方程2%+7TI=5的解为％=1,贝Im的值为（）
A.3B.-3C.7D.-7
4.代数式在三与代数式3—2%的和为％则％=.
5.（2024天桥二模）若一元一次方程3%—a=0的解为％=1,则a
考点二二元一次方程组的解法
人力、（3x--y=8，口
6.解万程组：?
、2%—y=7.D
x—2y=3,口
7.解方程组:1?313
-x+-y=—.m
V24，4
考点三一次方程（组）的应用
8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作2025济南中考数学，方程术是它的最高成就.
其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、
物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人
出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为工人，
物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）
By-8%=3,
Jx—y=4
C8%-y=3,8x一y=3,
D.
y—7x=4Jx—y=4
9.《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良
马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良
马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，
慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马％天可以追
上慢马，则下列方程正确的是（）
A.240%+150%=150X12
B.240%—150%=240X12
C.240%+150%=240X12
D.240%—150%=150X12
10.（2024天桥二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有
序发展的指导意见》，拟购买A,5两种型号的帐篷，为游客提供露
营服务.已知购买4种帐篷2顶和5种帐篷4顶，共需5200元；购
买A种帐篷3顶和5种帐篷1顶，共需2800元.
(1)求A种帐篷和5种帐篷的单价各是多少元？
(2)若该景区要购买A,3两种型号的帐篷共20顶，其中5种帐篷
数量不少于A种帐篷数量的号为使购买帐篷的总费用最低，应购买
A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
达标演练检测
1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精
湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元2025济南中考数学，共用了30元钱（两
种物品都买），小明的购买方案共有（）
A.3种B.4种C.5种D.6种
2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水
化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为
%（g）,y（g）,可列出方程为（）
A.%+y=3。B,x+jy=30
C.|%+尸3。D,x+|y=30
3.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是:
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一
尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少
尺？可设木头长为％尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是
y—x=4.5,x—y=4.5,
、2%—y=1、2%—y=1
x—y=4.5,
4.关于％的一兀一次方程X+2机=5的解为％=1,则772的值为（）
A.2B.-2C.3D.-3
_Q支-0
5.若和］一'都是关于X,y的二元一次方程以一2y=。
（y=ily=-3
的解，则》一Q的值为.
6.解方程：
(1)x—3=2x+l；
⑵-
7.解方程组：
8.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共
用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价
多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.
9.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报
酬是"型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结
束实习，结算工资时公司给了她一台"型平板电脑和300元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作冽天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得
多少报酬（用含机的代数式表示）？
2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习
-------^次方程（组）及其应用教师版
知识清单梳理
知识点一等式的性质
1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果
仍是等式.即如果a=b,那么a+c=b±c.
2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为。的数），
所得结果仍是等式.即如果那么ac=bc,-c=-c（cWO）.
知识点二一元一次方程
3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数,而
且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1,这样的方程
叫作一元一次方程.
4.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）
移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.
知识点三二元一次方程（组）
5.二元一次方程：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数
都是1的方程叫作二元一次方程.
6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组
方程叫作二元一次方程组.
7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作
二元一次方程组的解.
8.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未
知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数,
化二元一次方程组为一元一次方程.
（2）加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数.
知识点四一次方程（组）的实际应用
9.一般解题步骤：审、设、歹［）、解、验、答.
10.常见类型及关系
（1）利润问题：售价=标价X折扣；销售额=售价X销量;利
润=售价一成本；利润率=瞿>
-----------成本
（2）行程问题
①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程.
②追及问题
a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程.
b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路
程.
（3）工程问题：工作量=工作效率X工作时间.
高频考点过关
考点一一元一次方程的解法
1.（2024商河二模）若％=—5是关于％的方程。一3%=16的解，则
a的值是（A）
A.1B.-1C.-5D.-31
2.关于%的方程3%—2根=1的解为正数，则根的取值范围是（B）
11
A.m--
22
1I
C.m>-D.m
22
3.关于%的一元一次方程2%+加=5的解为％=1,则根的值为（A）
A.3B.-3C.7D.-7
4.代数式看与代数式3—2%的和为4,则尸一1.
5.（2024天桥二模）若一元一次方程3%—a=0的解为％=1,则Q=
3.
考点二二元一次方程组的解法
'3%+y=8,口
6.解方程组:
、2%—y=7.D
f3%+y=8,口
解：
、2%—y=7,
①+②得5%=15,解得％=3,
将％=3代入①得3X3+y=8,解得y=—1,
y—13
故原方程组的解为
ly=-1.
x—2y=3,口
7.解方程组:
***口
x-2y=3,
解:1?313「
-%+-y=—?n
(24，4
②X2—①得少=%解得y=l.
将y=l代入①得％—2=3,解得X=5,
???原方程组的解为
ty=1.
考点三一次方程（组）的应用
8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.
其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、
物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人
出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为工人，
物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（C）
y-8%=3,
A.B.
y—7x=4Jx—y=4
8%—y=3,8x—y=3,
C.
y—7x=4Jx—y=4
9.《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良
马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良
马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，
慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马"天可以追
上慢马，则下列方程正确的是（D）
A.240%+150%=150X12
B.240x-150%=240X12
C.240%+150%=240X12
D.240%—150%=150X12
10.（2024天桥二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有
序发展的指导意见》，拟购买A,5两种型号的帐篷，为游客提供露
营服务.已知购买A种帐篷2顶和5种帐篷4顶，共需5200元；购
买4种帐篷3顶和5种帐篷1顶，共需2800元.
（1）求A种帐篷和5种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区要购买4,5两种型号的帐篷共20顶，其中3种帐篷
数量不少于A种帐篷数量的号为使购买帐篷的总费用最低，应购买
A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
解：（1）设A种帐篷的单价是加元，5种帐篷的单价是〃元，
根据题意，得［2僧+4九=5200,解得尸=600,
（3m+n=2800,5=1000.
答：A种帐篷的单价是600元，5种帐篷的单价是1000元.
（2）设购买A种帐篷％顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买5种
帐篷（20一%）顶.
?:B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的%
.?.20—解得％W15.
根据题意，得y=600%+1000（20—%）=—400%+20000.
:一400
当％=15时，y最小值=-400X15+20000=14000,
此时20—%=20—15=5.
答：购买A种帐篷15顶，购买5种帐篷5顶，总费用最低为14000
元.
达标演练检测
1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精
湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两
种物品都买），小明的购买方案共有（B）
A.3种B.4种C.5种D.6种
2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水
化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为
%(g),y(g),可列出方程为(A)
A.%+y=3。B.%+|尸3。
C|%+尸3°D,x+|y=30
3.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是:
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一
尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少
尺？可设木头长为％尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是
y—x=4.5,x—y=4.5,
、2%—y=1、2%—y=1
x-y=4.5,y—x=4.5,
4.关于％的一元一次方程X+2机=5的解为％=1,贝Im的值为(A)
A.2B.-2C.3D.-3
_r-支-0
5.若和］一'都是关于％,y的二元一次方程以一2y=》
(y=ily=-3
的解，则b—a的值为2.
6.解方程：
(1)x—3=2%+1；
解：移项得%—2%=1+3,合并同类项得一%=4,系数化为1得%=
—4.
⑵y+口=1—2二.
,23
解：去分母得6y~~3y—3=6—4y+2,移项得6y+3y+4y=6+2+3,
合并同类项得13y=11,系数化为1得y=!|.
7.解方程组：|3%+y=5,
x+3y=7.
解：记方程组F%+y=5，口
、%+3y=7,
①X3—②，得8%=8,解得％=1,
把％=1代入①，得3+y=5,解得y=2,
故原方程组的解为“=1'
y=2.
8.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共
用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价
多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.
解：设该文具店中这种大笔记本的单价是工元，则小笔记本的单价是
（%—3）兀.
根据题意，得4%+6（%—3）=62,解得％=8.
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
9.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报
酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结
束实习，结算工资时公司给了她一台M型平板电脑和300元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作加天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得
多少报酬（用含机的代数式表示）？
解：（1）设这台"型平板电脑价值％元.
由题意得把祟2=甯，解得％=2100.
答：这台"型平板电脑价值2100元.
(2)由题意得1。。+150°=120
30
答：她应获得120加元的报酬.