必修一《函数单调性》教学设计

必修一《函数的单调性》教学设计

本节课是北师大版必修1,§3《函数的单调性》新授课的微课程教学设计。
课程标准：
通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。
教学目标：
1.理解函数单调性的定义，掌握其图象特征；
2.能够根据函数的图象，读出函数的单调区间；
3.会用定义法证明函数的单调性；
4.能够判断抽象函数的单调性.
教学重点：
函数单调性的定义，及单调函数的图象特征。
教学难点：
数形结合的数学思想方法在函数单调性中的应用。
教学过程：
第1个环节：复习函数单调性的定义。
一般地，设函数f(x)的定义域内的一个区间A上：
如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
给出函数单调性的定义，强调定义中的“任意”二字，指出函数的单调性是一个整体的概念，在给定的区间内的所有的均要满足单调性的数学表达式。
【设计意图】对函数单调性的定义进行学习，特别是要领会定义中的“任意”二字。
第2个环节：单调函数的图象特征。
给出3个具体的例子，剖析函数单调性的图象特征。
然后给出一个函数的图象，读出单调递增和单调递减区间，将抽象的定义具体化。
在本环节，要重点突出的两个问题：
（1）单调区间区间端点的“开”和“闭”的问题；
因为函数的单调性是一个整体的概念，在区间端点讨论单调性是毫无意义的。但是要注意，如果函数在区间端点处没有定义，则区间端点必须是“开”的，有定义则“可开可闭”。
（2）单调区间不能写成并集的形式。
两个集合的并集相当于是进行集合的运算，结果是一个集合，而显然函数在[0,4]∪[14,24]图象不是一直下降的，所以不能写成并集的形式。
【设计意图】数形结合提升学生对函数单调性的认识，会根据图象读出函数的单调区间。
第3个环节：用定义法证明函数的单调性。
给出一个具体的例题，讲解单调性证明的步骤。
例:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
步骤：
（1）任取定义域内某区间上的两变量x1，x2，设x1<<i>x2；
（2）判断f(x2)–f(x1)的正、负情况；
（3）得出结论.
证明：
在R上任取x1，x2，设x1<<i>x2，则△x=x2-x1>0;
△y=f(x2)–f(x1)
=(3x2+2)-(3x1+2)
=3(x2-x1)>0
∴f(x)=3x+2在R上是增函数.
强调符号的判断是最重要的一个环节，特别是要将最终的式子化简成因式相乘和相除的形式，然后逐一判断符号。
【设计意图】强调单调性判断或证明的步骤。结合具体的证明步骤学习如何用定义法证明函数的单调性。
第4个环节：抽象函数的单调性的判断。
研究两个问题：
（1）函数y=f(x)与y=f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性。
借助一个函数的图象进行学习，深化理解。
举例：
如：函数y=x2与y=x2-1具有相同的单调性.
（2）函数y=f(x)与y=cf(x)（c为常数）的单调性之间的关系。
举例：
如：函数y=x2与y=-x2的单调性.
分析：在(-∞,0)单调性相反，（0，+∞）单调性相反.
如：函数y=x2与y=2x2的单调性.
分析：在(-∞,0)单调性相同，（0，+∞）单调性相同.
对这两个问题，只要求借助于具体的函数单调性归纳得出，不要求给出严格的证明。对学生的要求是记住结论，能够使用这两个结论进行简单函数单调性的判断即可。
【设计意图】将许多函数单调性的判断简单化，克服每题从定义出发，进行证明的弊端，从而提升能力。
第5个环节：课堂小结。
1.函数单调性的定义是什么？
2.单调函数的图象特征是什么？
3.函数单调性的判断有哪两种方法？
4.本节课你学习了哪些数学思想方法？
【设计意图】总结回顾本节课学过的知识。
评价设计：
本微课程的设计具有以下特色：
（1）突出学生自主学习能力的提升。
微课程的设计旨在让学生通过自主学习，让学生在课前预习、上课听讲、课后复习等环节得到提升，因此特别注重举例，例子虽然简单，却能激发学生思考。
（2）注重数形结合思想方法的培养。
对函数单调性的学习，定义是抽象的，如果仅从定义出发，学生会“照葫芦画瓢”，而结合图象学习，学生对单调性的认识会上升到一个新的层次。
（3）重视学生的数学学习发展。
在讲解完函数单调性的概念之后，引入抽象函数单调性的学习，不要求证明，只要求会应用。结合具体的函数来学习，体现的是归纳的思想和由特殊到一般的方法。