2008年10月17日~19日，在嘉兴，那是思绪飞扬与心情澎湃的日子．尽管西塘古镇那通向久远的小巷故事伴着轻风潜入记忆滋润着心灵，但脑海中却总想着自己要送给孩子们什么？是“曲线的方程”？还是“方程的曲线”？或者是别的什么？
在第七次课题研讨会上，笔者以“曲线与方程”为课题进行了教学设计并进行了教学实践．本文是根据教学设计实施后，通过两次重新设计与教学实践再写出的反思，希望能为一线教师的教学提供参考．
第一部分 教学反思
在秀州中学上完课后，看着自己眼前的那群孩子，内心充满遗憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中学一段时间该多好！
虽然感慨万千，但现在想来，最想写下来的有以下几点：
1．了解学生基本情况是进行教学设计和实施教学的重要条件
在设计和实施教学时，笔者不仅关注概念的形成，而且充分关注知识间的联系以及知识所体现出来的思想方法．但是，如果设计离学生原有的认知环境、认知水平有较大差异的话，在教学实施时是很难达到预期目标的．因此，进行教学设计时，了解学生是非常重要的．
例如，原设计中的“引子”是想让学生体会坐标法在刻画点中的重要作用，为将曲线与方程之间的对应关系转化为“点”与“坐标”之间的对应关系作准备．但是“引子”中的聚会地点是深圳市的某个位置，秀州中学的学生是不熟悉的，讲解时学生脑子中根本没有这个位置，所以教师费了较多的时间来说明环境，这是不可取的．
又如，原设计[问题1]中“台风”发生后轮船航道是否需要变化的问题，是学生在《数学2》中学习过的问题，设计的意图是想让学生在回顾的基础上重新认识“试验”的方法不可取，建立坐标系后可以通过考察直线与圆的方程所组成的方程组是否有解来解决问题，让他们体会坐标法的重要作用，为曲线与方程的学习提供兴趣与动力．但教学中发现不少学生对这个问题不了解（似乎没有学习过一样），被提问的学生回答说“把台风范围与航道画在纸上就能看出有没有危险”，这说明学生没有用坐标法思考问题的意识，这也就使得实现原设计的意图费时耗力．如果学生学习《数学2》时对这个问题所渗透的思想方法有深刻印象，或者课前让学生重新回顾了《数学2》上的这个问题，课堂上是可以做到更流畅地实现意图的．当然，从这个问题也能看到，教学中思想方法的渗透是多么重要！
再如，原设计中的[问题2]的设计意图，一方面是想为归纳曲线与方程提供特例，另一方面，我们知道曲线上的点的几何特征是求曲线方程的重要基础，而直线是没有定义的，因而直线上的点的几何特征难以表述，因此，这里试图以向量方法来刻画直线上的点的几何特征，以方便求出直线的方程，并从“统一性”的角度说明直线方程的形式是二元一次方程．在实际教学中，我们看到学生对两个向量平行的坐标刻画方式是不熟悉的，这也为课堂教学增加了难度．
由此可见，应充分重视了解学生、根据学生的认知水平设计问题的重要性．如果是给自己不了解情况的学生上课，教学设计中的问题应在能达到目标的前提下尽可能简单．
2．数学内容的地位与作用决定教学目标，教学目标的份量产生教学重点
如果不明确教学过程中的数学内容，或者不明确数学内容的地位与作用，我们就不可能制定出恰当的教学目标，就不可能通过教学培养学生的能力与素质．因此，对教学内容的解析，不仅可以明确内容中所涉数学概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且还是确定教学目标的依据．但有些情况下教学目标是不唯一的，不同目标在教学中所占的份量（或比重）也是不同的．因此，按照各教学目标所占的份量来产生教学重点就是一件自然的事情．笔者认为，应该在对教学目标进行解析时给出教学重点．
例如，对曲线与方程的内容进行分析后，我们确立了四个教学目标（见后），在对目标进行解析时，我们指出了目标中的（1）、（2）分别为第一课时、第二课时的教学重点．
3．教学过程的设计，必须紧密围绕教学目标（特别是教学重点）
设计问题串引导学生思考是教学过程设计的重点之一，设计的指导思想是有利于以最小的教学资源（如教学时间）来达成教学目标，也就是说所设计的问题必须紧密围绕教学目标，必须始终关注学生的知识构建和思想方法的提炼．
例如，在曲线与方程的第一课时中，我们的问题始终是围绕“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念形成（也是第一课时的教学重点）来设计的；而在曲线与方程的第二课时中，我们的问题就是围绕“求曲线的方程，并证明方程就是曲线的方程”（也就是第二课时的教学重点）来设计．在对原设计进行修改时，第一课时删去原来的[问题1]，增加[问题2]、[问题3]、[问题6],修改原来的[问题3]为现在的[问题4]，并把原来的[问题2]作为第二课时的[问题10]，第二课时设置[问题11]、[问题12]、[问题14]，就是基于上述原因．
4．教学支持条件不应仅是客观条件（如信息技术），更重要的是学生的认知基础
就本节课而言，学生对函数及其图象的了解，以及在《数学2》的学习中对直线方程和圆的方程的了解均是现在学习曲线与方程的重要支持条件．同时，学生对向量知识与向量运算的掌握程度，也是教学设计得以顺利实施的重要条件．如果没有这些基础，学生对曲线与方程的理解会更困难，也直接影响到教学过程的设计与实施．
第二部分 反思后的教学设计
一、教学内容与内容解析
1．内容：
（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想.
其中（1）、（3）为第一课时的内容，（2）、（3）为第二课时的内容．
2．内容解析：
“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．这一内容既是直线与方程、圆与方程理论的一般化，也是进一步学习椭圆、双曲线、抛物线的指导思想．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但是更为重要的是使人们通过坐标系这座桥，可以利用方程以及代数的运算来研究曲线，这正是这一内容成为数学的核心概念的原因，也是曲线与方程这一概念的核心之所在．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.
事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等方便手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线(或点集)．曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所成的集合之间存在一一对应关系来建立的．因此，曲线的方程是曲线的惟一表示．这种表示，不仅为我们研究曲线提供了方便，还为人们表达自己的思想观点提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．
二、教学目标与目标解析
1．目标：
（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；
（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；
（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.
（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想．
2．目标解析：
教学目标（1）、（4）是第一课时应该完成的目标，其中（1）是教学重点；（2）、（3）、（4）是第二课时应该完成的目标，（2）是教学重点．教学时，落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.
学生通过函数及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.
教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．
对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．
三、教学问题诊断分析
1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题，也是第一课时的教学难点.这个教学问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．
2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是第二课时的教学难点．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．
3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因此教学时可适当使用信息技术工具以解决这个问题.
4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.
四、教学支持条件
1．在进行曲线与方程的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括.
2．向量是刻画直线的几何特征、位置关系以及进行运算的重要工具，学生在数学4时学习了平面向量，这就使其成为学习本内容的重要支持．
3．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学时充分注意这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分
