2025年济南市长清区中考四模数学试题
考生须知,
1,全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂,非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名****号。
3,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题,共10小题,每小题3分,共30分,
1,下列计算正确的是,,
A,(8)2,±8B,38+32(62C),(12)0(0D)(x)2y,(3)63y
2,计算2a2,3a2的结果是,,
A(5a4B)6a2C(6a4D)5a2
3,如图所示的几何体的俯视图是,,
A(B)C(D)
4,如图,在RtABC中,∠ABC=90°,
°,AB=6,BC=8,点E是ABC的内心,过点E作EF∥AB交AC于点F,则EF
的长为()
A(52B)15C(8D)10
5,直线y=3x+1不经过的象限是,,
A,第一象限B,第二象限C,第三象限D,第四象限
6,在直角坐标平面内,已知点M(4,3),以M为圆心,r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为
()
A,0r5
7,抛物线y(x2)2x,3的对称轴是()
A,直线x(1B)直线x,,1
C,直线x,(2D)直线x,2
8,某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季
度的产值比第一季度的产值增长了,,
A,2x%B,1+2x%C,,1+x%,x%D,,2+x%,x%
9,《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响,该书中记载了一个问题,
大意是,有几个人一起去买一件物品,每人出8元,多3元,每人出7元,少4元,问有多少人,该物品价几何,设
有x人,物品价值y元,则所列方程组正确的是()
A,834xx=-=B,834yy=-=
C,834yy=+=D,834xx=+=
10,二次函数2axbxc++的图象如图所示,则一次函数24bxbac+-与反比例函数abc++在同一坐标x
系内的图象大致为()
A(B)C(D)
二、填空题,本大题共6个小题,每小题3分,共18分,
11,如果不等式组213(1)xm>-?,的解集是x(2)那么m的取值范围是_
12,若方程x2+2,1+a,x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根,则b=_____,a
_____
13,用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案,即从第二个图案开始,每个图案中正三角形的个数
都比上一个图案中正三角形的个数多4个,则第n个图案中正三角形的个数为,用含n的代数式表示,,
14,含角30°的直角三角板与直线1,2的位置关系如图所示,已知12l,∠1=60°,
°,以下三个结论中正确的是____
,只
填序号,,
①AC=2BC②BCD为正三角形③AD=BD
15,圆柱的底面半径为1,母线长为2,则它的侧面积为_
_____
_,,结果保留π,
16,如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB
上,点B、E在反比例函数的图像上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为.
三、解答题,共8题,共72分,
17,,8分,绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额,绘制了如下折线统计图和扇形统计图,
设销售员的月销售额为x,单位,万元,。销售部规定,当x
”,当16200,
∵对称轴为直线 0b a- > ,
∴b
二次函数图形与x轴有两个交点,则 2 4 ac >0,
∵当x=1时y=a+b+c
∴ 2 4 bx b ac + - 的图象经过第二四象限,且与y轴的正半轴相交,反比例函数 a b c + + 图象在第二、 四象限,x
只有D选项图象符合.
故选, D.
考查反比例函数的图象,
一次函数的图象,二次函数的图象,掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.
二、填空题,本大题共6个小题,每小题3分,共18分,
11、m≥1,
【解析】
分析,先解第一个不等式,再根据不等式组 , , 1 3 1 x m - > - < 的解集是x(1)从而得出关于m的不等式,解不等式即可,
详解,解第一个不等式得( x)1,
∵不等式组 , , 1 3 1 x m - > - < 的解集是x(1)
∴m≥1,
故答案为m≥1 ,
点睛,本题是已知不等式组的解集,求不等式中字母取值范围的问题,可以先将字母当作已知数处理,求出解集与已
知解集比较,进而求得字母的范围,求不等式的公共解,要遵循以下原则, 同大取较大, 同小取较小,大小小大中间
找,大大小小解不了,
12、
【解析】
因为方程有实根,所以≥0,配方整理得,a+2b, 2+ (a) 1, 2≤0,再利用非负性求出a, b的值即可.
【详解】
∵方程有实根,
∴≥0, 即=4 ,1+a( 2 )4 ,3 a2+4ab+4b2+2, ≥0,
化简得, 2a2+4ab+4b2 ,2a+1≤0,
∴ ,a+2b, 2+ (a) 1, 2≤0,而,a+2b, 2+ (a) 1, 2≥0,
∴a+2b=0( a) 1=0,解得a=1, b=,
∴ba=, 12.
故答案为,
13、 4n+1
【解析】
分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个,
【详解】
解,第一个图案正三角形个数为6=1+4,
第二个图案正三角形个数为1+4+4=1+1×4,
第三个图案正三角形个数为1+1×4+4=1+3×4,
…,
第n个图案正三角形个数为1+ (n) 1, ×4+4=1+4n=4n+1,
故答案为4n+1,
考点,规律型, 图形的变化类,
14、②③
【解析】
根据平行线的性质以及等边三角形的性质即可求出答案,
【详解】
由题意可知, ∠A=30°,
°, ∴AB=2BC,故①错误,
∵l1∥l2, ∴∠CDB=∠1=60°,
∵∠CBD=60°,
°, ∴BCD是等边三角形,故②正确,
∵BCD是等边三角形, ∴∠BCD=60°,
°, ∴∠ACD=∠A=30°,
故答案为②③,
°, ∴AD=CD=BD,故③正确,
本题考查了平行的性质以及等边三角形的性质,解题的关键是熟练运用平行线的性质,等边三角形的性质,含30度角
的直角三角形的性质,本题属于中等题型,
15、 4p
【解析】
根据圆柱的侧面积公式,计算即可,
【详解】
圆柱的底面半径为r=1,母线长为l=2,
则它的侧面积为S侧=2πrl=2π×1×2=4π,
故答案为, 4π,
题考查了圆柱的侧面积公式应用问题,是基础题,
16、 2
【解析】
试题分析, 由OA=1, OC=6,可得矩形OABC的面积为6,再根据反比例函数系数k的几何意义,可知k=6, ∴反比例函数的解析式为 6 x ,设正方形ADEF的边长为a,则点E的坐标为,a+1( a), ∵点E在抛物线上, ∴ 61 a + ,
整理得2 6 0 a - = ,解得 2= 或 3=- ,舍去,,故正方形ADEF的边长是2.
考点,反比例函数系数k的几何意义,
三、解答题,共8题,共72分,
17、 (1)补全统计图如图见解析, (2) “称职”的销售员月销售额的中位数为, 22万,众数, 21万,
“优秀”的销售员月
销售额的中位数为, 26万,众数, 25万和26万, (3)月销售额奖励标准应定为22万元.
【解析】
(1) 根据称职的人数及其所占百分比求得总人数, 据此求得不称职、 基本称职和优秀的百分比, 再求出优秀的
总人数, 从而得出销售26万元的人数, 据此即可补全图形,
(2) 根据中位数和众数的定义求解可得,
(3) 根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据,
【详解】
(1)依题可得,
“不称职”人数为, 2+2=4 ,人,,
“基本称职”人数为, 2+3+3+2=10 ,人,,
“称职”人数为, 4+5+4+3+4=20 ,人,,
∴总人数为, 20÷50%=40 ,人,,
∴不称职”百分比, a=4÷40=10%,
“基本称职”百分比, b=10÷40=25%,
“优秀”百分比, d=1-10%-25%-50%=15%,
∴“优秀”人数为, 40×15%=6 ,人,,
∴得26分的人数为, 6-2-1-1=2 ,人,,
补全统计图如图所示,
(2) 由折线统计图可知,
“称职”20万4人, 21万5人, 22万4人, 23万3人, 24万4人,
“优秀”25万2人, 26万2人, 27万1人, 28万1人,
“称职”的销售员月销售额的中位数为, 22万,众数, 21万,
“优秀”的销售员月销售额的中位数为, 26万,众数, 25万和26万,
(3) 由(2)知月销售额奖励标准应定为22万.
∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为, 22万,
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖, 月销售额奖励标准应定为22万元.
考查频数分布直方图、 扇形统计图、 中位数、 众数等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
18、A′DE是等腰三角形,证明过程见解析.
【解析】
试题分析:当四边形EDD′F为菱形时, A′DE是等腰三角形,A′DE≌EFC′2025济南中考数学,
′ ,先证明CD=DA=DB,得到
∠DAC=∠DCA, 由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断DA′E的形状, 由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D,
∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE,再根据A′D=DE=EF即可证明,
试题解析, 当四边形EDD′F为菱形时, A′DE是等腰三角形, A′DE≌EFC′ ,
理由, ∵BCA是直角三角形, ∠ACB=90°,
°, AD=DB,
∴CD=DA=DB,
∴∠DAC=∠DCA,
∵A′C∥AC,
∴∠DA′E=∠A, ∠DEA′=∠DCA,
∴∠DA′E=∠DEA′,
∴DA′=DE,
∴A′DE是等腰三角形,
∵四边形DEFD′是菱形,
∴EF=DE=DA′,
′, EF∥DD′,
∴∠CEF=∠DA′E, ∠EFC=∠CD′A′,
∵CD∥C′D′,
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC,
在A′DE和EFC′中,
∠EA'D=∠CEF
A'D=EF
∠A'DE=∠EFC
∴A′DE≌EFC′ ,
考点, 1.菱形的性质, 2.全等三角形的判定, 3.平移的性质,
19、见解析.
【解析】
首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证,
【详解】
证明,连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,
∵S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=12 ab+12 b
又∵S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=12 ab+2
∴ 12 ab+12b1+12 ab=12 ab+12 c1+12 a ,b-a,,
b1+12 a 1 c1+
ab,
a ,b-a,,
∴a1+b1=c1 ,
此题考查了勾股定理的证明,用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键,
20、填表见解析, (1) 6, (2) 甲, 甲的销售额的中位数较大,并且甲月销售额在9万元以上的月份多,
【解析】
(1)月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金制度大全,去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题,
(2)根据中位数和平均数即可解题.
【详解】
解,如图,
销售额量人员 4.0≤x≤4.9 5.0≤x≤5.9 6.0≤x≤6.9 7.0≤x≤7.9 8.0≤x≤8.9 9.0≤x≤10.0 1 0 1 2 1 5 0 1 3 0 2 4(1)估计乙业务员能获得奖金的月份有6个,
(2)可以推断出甲业务员的销售业绩好,理由为, 甲的销售额的中位数较大,并且甲月销售额在9万元以上的月份
多,
故答案为0( 1) 3( 0) 2( 4) 6, 甲, 甲的销售额的中位数较大,并且甲月销售额在9万元以上的月份多,
本题考查了统计的相关知识,众数,平均数的应用,属于简单题,将图表信息转换成有用信息是解题关键.
21、 5
【解析】
本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方四个考点,在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据
实数的运算法则求得计算结果,
【详解】
原式=4-8×0.125+1+1=4-1+2=5
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型,解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零
指数幂、乘方、绝对值等考点的运算,
22、 (1)BC=2, (2)见解析
【解析】
试题分析, (1)连接OB,根据已知条件判定OBC的等边三角形,则BC=OC=2,
(2)欲证明PB是⊙O的切线, 只需证得OB⊥PB即可,
(1)解,如图,连接OB,
∵AB⊥OC, ∠AOC=60°,
∴∠OAB=30°,
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB=30°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴OBC的等边三角形,
∴BC=OC,
又OC=2,
∴BC=2,
(2)证明, 由(1)知, OBC的等边三角形,则∠COB=60°,
°, BC=OC,
∵OC=CP,
∴BC=PC,
∴∠P=∠CBP,
又∵∠OCB=60°,
°, ∠OCB=2∠P,
∴∠P=30°,
∴∠OBP=90°,
°, 即OB⊥PB,
又∵OB是半径,
∴PB是⊙O的切线,
考点,切线的判定,
23、观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米,
【解析】
过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,根据AE=DE,列出方程即可解决问题,
【详解】
过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,
在RtDEB中, tan∠DB E=DEE,
∵∠DBC=65°,
∴D E=xtan65°,
又∵∠DAC=45°,
∴AE=DE,
∴132+x=xtan65°,
∴解得x≈115.8,
∴DE≈248 ,米,,
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米,
24、 (1) 32
【解析】
(2) 1 (3)①②③
(1) 由抛物线与x轴只有一个交点,可知=0,
(2) 由抛物线与x轴有两个交点且AB=2,可知A、 B坐标,代入解析式,可得k值,(3)通过解析式求出对称轴,与y轴交点,并根据系数的关系得出判断,
【详解】
(1) ∵二次函数y(kx2 )4 kx+3与x轴只有一个公共点,
∴关于x的方程kx2 ,4kx+3,0有两个相等的实数根,
∴,, (4k) 2,4×3k(16k2 ) 12k(0)
解得( k 1)0( k2)
k≠0,
∴k(32)
(2) ∵AB(2)抛物线对称轴为x(2)
∴A、 B点坐标为(1) 0,, (3) 0,,
将(1) 0,代入解析式,可得k(1)
(3)①∵当x,0时( y)3,
∴二次函数图象与y轴的交点为(0) 3,,①正确2025济南中考数学,
②∵抛物线的对称轴为x(2)
∴抛物线的对称轴不变,②正确,
③二次函数y(kx2 )4 kx+3(k )x2 (4 x) +3,将其看成y关于k的一次函数,
令k的系数为0, 即x2 (4x)0,
解得( x1)0( x2)4,
∴抛物线一定经过两个定点(0) 3,和(4) 3,,③正确,综上可知,正确的结论有①②③,
本题考查了二次函数的性质,与x、 y轴的交点问题,对称轴问题, 以及系数与图象的关系问题,是一道很好的综合问
题,