一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(5分)已知复数z=i(1-i),则|z|=()
A.2B.V2C.5D.V5
2.(5分)若命题“VxeR,/+2%+3＞机”是假命题，则实数机的取值范是()
A.(-8,2)B.
2,+8)C.(-8,2
D.(2,+8)
T—Ttf————,一
3.(5分)已知向量a,6满足|a|=2,a-2b=4,且(b+2a),b=,则闻=()
V2
A.1B.一C.V3D.V2
4.(5分)以下命题为假命题的是()
A.若样本数据尤1,XI,Xi,X4,X5,X6的方差为2,则数据2尤1-1,2X2-1,2X3-1,2x4-1,2x5-1,
2X6-1的方差为8
B.一组数据8,9,1,11,12的第8百分位数是11.5
C.一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据
的平均数小于中位数
D.以模型y=ce辰去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=/wy,最终求得线性回归方程为z=
2%+.4,则模型中c,左的值对应分别是.4和2
5.(5分)动点M在曲线/+夕=1上移动，点加和定点B(3,)连线的中点为P,则点P的轨迹方程
为()
1Q1
2222=
A.%4-y=-B.(%—2)+y4
QQ1
2222
C.(%—2)+y=1D.%+(y—2)=
6.(5分)设函数/(%)=2s讥1％+2a%,g(x)=a(x-2)+8a,曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交
点，贝J！〃=()
2V3
A.-1B.C.-D.—
34
7.(5分)用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边长分
别为1和2,侧棱与底面所成的角为7则该四棱台的体积是()
77^27V27V2
A.-B.——C.—D.——
6632
b—a
8.5（分）已知4,bER,fx（）-ax+b,若/x（）21恒成立，则的取值范是（）
A.
,+8)B.
1,+8)C.
-2,+8)D.
-1,+8)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9.6（分）对于函数fx（）=下列说法正确的有（）
A.fX（）的最小正周期为Tl
B.fx（）关于直线％=等对称
C./X（）在区间粤［，学］上单调递减
D.f无（）的一个零点为x=
（多选）1.6（分）已知抛物线C：y1=2pxp（）的焦点为凡C上一点尸到尸和到y轴的距离分别为
12和1,且点尸位于第一象限，以线段为直径的圆记为。，则下列说法正确的是（）
A.p=4
B.C的准线方程为y=-2
22
C.圆。的标准方程为％（-6）+y（—2V5）=36
D.若过点（,2V5）,且与直线OPO（为坐标原点）平行的直线/与圆。相交于A,B两点，则|4B|=4有
（多选）11.6（分）已知函数/X（）=esm-cosx+ecosx-sm（贝j!（）
A.fX（）的图像是中心对称图形
B.fx（）的图像是轴对称图形
C./%（）是周期函数
D.fx（）存在最大值与最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分。
12.5（分）记为为等差数列斯｛｝的前“项和，若2+45=8,23+4=11,则S9=.
13.5（分）已知tana,tan是方程x-3x-3=的两个实数根，tan2（a+2）=.
14.5（分）某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,12,从盒中任取3个球，记S为取出的3
个球的标号之和被3除的余数，则随机变量^=2的概率是.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2b,cosB+2cosC=.
(1)求cosA；
(2)若。是边AB上一点，AD=jOB,且CD=VT7,求ABC的面积.
1.(15分)在平行四边形ABCQ中，ZD=60°,CD=1,AC=V3.将ABC沿AC翻折到APC的位
置，使得PD=遮.
(1)证明；CD_L平面APC；
(2)在线段AD上是否存在点使得二面角PC-A的余弦值为富？若存在，求出黑的值;
13MD
若不存在，请说明理由.
(I)当。=1时，求曲线y=f(无)在点(1,/(D)处的切线方程；
(II)当x�
e,+8)时，曲线=/(x)在无轴的上方，求实数a的取值范围.
18.(17分)为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概
率为-，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭
火系统能正常工作，否则就需要维修.
(1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；
(2)系统需要维修的概率；
(3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套
新喷淋装置正常工作的概率为0(0pl),且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火
系统可以正常工作.问：p满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？
19.(17分)已知双曲线捻—，=l(a0,0)的实轴长为2,顶点到渐近线的距离为子.
(1)求双曲线?的标准方程；
(2)若直线/与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C、A、B、D,证明：AC^BD；
xnE
(3)求二元二次方程/-3y2=1的正整数解y)Cn%，N*),可先找到初始解(xi,yi),
其中XI为所有解X中的最小值，因为1=(2+百)(2-旧)=22-3XM,所以。1(2,1)；因为1=
22n
(2+旧)2(2-V3)=(7+4A/3)(7-4A/3)=7-3X42,所以02(7,4)；重复上述过程2025年河北省高考试题及答案，因为(2+V3)
与(2-旧产的展开式中，不含旧的部分相等，含8的部分互为相反数，故可设1=(2+百产(2-
V3)=(x+V3y)(x-V3y)=/-3x端所以。〃(物，/).若方程E的正整数解为Qn(坳，》),
则02+1的面积是否为定值？若是,请求出该定值，并说明理由.
2025年河北省高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目
要求的。
1.(5分)己知复数z=i(1-力，则|z|=()
A.2B.V2C.5D.V5
【解答】解：：z=i(1-力=l+i,
22
z=Vl+1=V2
故选：B.
2.(5分)若命题“VxR,/+2X+37〃”是假命题，则实数机的取值范围是()
A.(-8,2)B.
2,+8)C.(-8,2
D.(2,+°)
【解答】解：若命题“VxeR,/+2无+3/?是假命题，
即存在xeR,f+2x+3Wm,
则机》(/+2x+3)min)
又因为y=f+2x+3=(x+1)~+2N2,
所以加2,即实数机的取值范围是
2,+8).
故选：B.
3.(5分)已知向量a,6满足|a|=2,a-2b=4,且(b+2a)-6=,贝加|=()
A.1B.—C.V3D.V2
T7-t—
【解答】解：由(b+2a)-/?=,可得力2=-2a?b,
一，TTT
又因为|a|=2,a-2b=4,
所以「2—4G,b+4b2=16,
T——T
即4—4a?b+4b2=4+6b=16,
从而向=V2.
故选：.
4.(5分)以下命题为假命题的是()
A.若样本数据XI,XI,X3,X4,X5,X6的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-L
2x6-1的方差为8
B.一组数据8,9,1,11,12的第8百分位数是11.5
C.一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据
的平均数小于中位数
D.以模型y=ce去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=/wy,最终求得线性回归方程为z=
2%+.4,则模型中c,左的值对应分别是.4和2
【解答】解：对A,若样本数据xi,Xi,X6的方差为2,则数据2xi-l,2x2-1,2x3-L2x4-1,
2x5-1,2尤-1的方差为22X2=8,故A正确；
对B,数据8,9,1,11,12共5个,
11+12
5X8%=4,则其第8百分位数是二一=11.5,故3正确；
对C,一般来说，对于单峰的频率分布直方图，右边“拖尾”时平均数大于中位数，左边“拖尾”时平
均数小于中位数，故C正确；
对。，设z=/〃y,
则z—lny—lnc+lnekx=lnc+kx,
由题线性回归方程为z=2x+.4,
则lnc—0A,k=2,
故c,4的值分别是e°4和2,故。错误.
故选：.
5.(5分)动点M在曲线7+y=1上移动，点M和定点B(3,)连线的中点为尸，则点尸的轨迹方程
为()
1Q1
2222=
A.%+y=-B.(%—^)+y4
QQ1
2222
C.(%—2)+y=1D.%+(y—2)=
【解答】解：设尸(x,y),
丁点尸是动点M和定点8(3,)连线的中点，
：.M⑵-3,2y),
又???动点M在曲线~+『=1上移动，
???(2x-3)2+(2y)2=1,
整理得，(x-|)2+/=
故选：B.
6.(5分)设函数f(%)=2s讥看％+2a%,g(x)=a(x-2)+8a,曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交
点，贝J！〃=()
_2V3
A.-1B.C.-D.—
34
【解答】解：令函数九(%)=f(x)-g(%)=2sin^x-a(x-3)-3a,
=2sin-^x—a(x—3)—3a,
即h(x)=h(6-x),
所以函数Zz(x)关于直线x=3对称，
因为函数y=/G)与y=g(%)恰有一个交点,
所以力(3)=,
可得2$讥2-a(3—3)2—3a—2—3a—,解得a=
当。=@,%3时,2sin^x—3a/—a(x—3),
所以a=亍.
故选：C.
7.(5分)用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边长分
71
别为1和2,侧棱与底面所成的角为：，则该四棱台的体积是()
77V27V27V2
A.-B.C.D.
6632
【解答】解：如下图所示：O,。分别为上下底面的中心，作CLELAC于点区
根据题意可知481=1,AB=2,侧棱与底面所成的角即为/CiCE,可知NGCE=%
因此可得CiE=CE,
易知AC=2e，=由正四棱台性质可得CE=:(AC—46)=5，
所以该正四棱台的高为C1E=CE工,
22
因此该四棱台的体积是P=1(1+2+VI=不)xq=学.
故选：B.
b—a,一
8.(5分)已知〃，Z?eR,f(x)-ax+b,右/(%)21恒成乂，则的取值范围是()
CL
A.
0,+8)B.
1,+8)C.
-2,+8)D.
-1,+8)
【解答】解：-ax+b,
?(龙)-a,
当时，/(%)0恒成立，则/(x)在R上单调递增，但尤f-8时，/(x)三1不成立，显然
不符合题意；
当a0时，当比(-8,i)时，f(x)0,函数/(x)单调递减，当比(-8,Ina)时，f
na
(x)0,函数/(x)单调递增，
:?于(x)minf(Ina)=a-alna+b,
9：f(x)21恒成立，
9?a-alna+b,
:?b，alna-a+1,
.b-aalna-a+l1
=Ina+——2,
CLClQ
、1
设g(〃)———2,〃0,
则g(a)=：9=整，
令g，(〃)=0,解得〃=1,当(0,1)时，g(〃)0,函数g(〃)单调递减，
当(1,+8)时，g，(〃)o,函数g(〃)单调递增，
=-
**?g(。)min0+1—1,
b-a
/.—1.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
(多选)9.(6分)对于函数/(久)=5讥(上一卷)，下列说法正确的有(
A.f(x)的最小正周期为n
B.f(x)关于直线％=粤对称
C./(x)在区间粤［，粤］上单调递减
D.f(x)的一个零点为x=-穹
【解答】解：由函数/⑴=sin故最小正周期为r=竽=4兀，A错；
/(粤)=singX舞—看)==1，可知直线刀=等是对称轴，8正确；
xe粤［，粤］时，e|［,詈］,正弦函数在区间名，著］上单调递减，C正确；
f(—§)=sin(—可)4,可知尤=—可不是零点，D错.
故选：BC.
(多选)1.(6分)已知抛物线C：』=px(p0)的焦点为尸留学之路，C上一点尸到尸和到y轴的距离分别为
12和1,且点尸位于第一象限，以线段尸产为直径的圆记为。，则下列说法正确的是()
A.p=4
B.C的准线方程为y=-2
22
C.圆。的标准方程为Q-6)+(y—2V5)=36
D.若过点(,2西)，且与直线OP(O为坐标原点)平行的直线/与圆Q相交于48两点，则|4B|=4V5
【解答】解：选项A：因C上一点尸到尸和到y轴的距离分别为12和1,
由抛物线定义可知，PF=1+1=12^p=4,
故A正确；
选项2：准线方程为x=-2,
故8错误；
选项C：设尸(xo,yo),yoO,
由P到y轴的距离分别为1,
所以尤=1,
则%)=4有，
即P(1,4V5),
又F(2,),
_,pF|(1-2)2+(4V5)2
所以圆心(6,亚),半径==6,
所以圆。的标准方程为(％-6)+(y—V5)=36,
故C正确；
选项D因为直线。尸(。为坐标原点)平行的直线/,
所以的=k=勺g=
0P
所以直线/的方程为y=等”+遍，
|—^X6—V5+V51
又圆心(6,6)到直线I的距离为—=4,
所以|4B|=V6-4=4V5,
故。正确.
故选：ACD.
(多选)11.(6分)已知函数/(X)=esm「cosx+ecosx-sinx,贝(j()
A.f(x)的图像是中心对称图形
B.f(x)的图像是轴对称图形
C./(%)是周期函数
D.f(x)存在最大值与最小值
【解答】解：对于A,f(x)+f(i-x)gSin%cosx_|_^cosx-sinx_|_^sin(-%)-cos(-%)^^cos(-%)-sin(-%)
nesiiu-cosx+ecosx-siru+e-sinx-cosx+ecos/siiu不为常数，故/(%)关于(0,y(0))不对称,
且/(〃+%)+f(Z?-x)W常数，故A错误;
对于8,/(J+x)=e^sinx+-^sinx=-x),则/(x)的对称轴方程为x=?故B正确;
对于C,))-_
f(X+K)=gSin(%+TP-COS(X+TT^COSX+TTsin(%+n)_-sinx+cosx_|_^cosx+sinx—y(1),
则/(x)的周期为Tt,故C正确;
对于。，令f=siiu-cos尤=sin(x―今)6,
令g(f)=e*+L,te,g(-t)=gG),g(t)是偶函数,
故只需考虑怎0［,夜］的部分，g(?)=e-e考t0时,g⑺0,
=g(0)g(t)5(V)=+e~^,即/(x)存在最大值e四+返与最小值,故。正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(5分)记品为等差数列板｛｝的前见项和，若及+公=8,2々3+。4=11,则S9=63
【解答】解：因为数列物为等差数列，。2+。5=8,2a3+。4=11,
a1+d+a1+4d=8
则由题意得?
2(a+2d)+%,+3d=11
解得月工1
QvQ
则S9=9al+=9x(-1)+36x2=63.
故答案为：63.
24
13.(5分)已知tana,tan是方程F一3%-3=的两个实数根2025年河北省高考试题及答案，tan(2a+2)_
【解答】解：因为tana,tan是方程3尤-3=的两个实数根,
所以tana+tan=3,tanatan=-3,
因此tm(a+)=罂撼吉号
2tan(a+^)_之24
可得tcm(2a+2)5)=l—tan2(a+fi)1一得
24
故答案为：—
14.(5分)某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,12,从盒中任取3个球，记?为取出的3
1R
个球的标号之和被3除的余数，则随机变量W=2的概率是__
【解答】解：从12个球中任取3个